integral of (y^2)/((y^2-1)^{3/2)}

Lösung

\int \frac{y ^{2}}{( y ^{2} - 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d y

- \frac{y}{( y ^{2} - 1 ) ^{\frac{1}{2}}} + ln (y^{2} - 1)^{\frac{1}{2}} + y + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{y ^{2}}{( y ^{2} - 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d y

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int sec^{3} (u) cot^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{csc ^{2} ( u )}{cos ( u )} d u

Wende die partielle Integration an

= - csc (u) - \int - sec (u) d u

\int - sec (u) d u = - ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

= - csc (u) - (- ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣)

Setze in

u = arcsec (y)

ein

= - csc (arcsec (y)) - (- ln ∣ tan (arcsec (y)) + sec (arcsec (y)) ∣)

Vereinfache

- csc (arcsec (y)) - (- ln ∣ tan (arcsec (y)) + sec (arcsec (y)) ∣) : - \frac{y}{( y ^{2} - 1 ) ^{\frac{1}{2}}} + ln (y^{2} - 1)^{\frac{1}{2}} + y

= - \frac{y}{( y ^{2} - 1 ) ^{\frac{1}{2}}} + ln (y^{2} - 1)^{\frac{1}{2}} + y

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{y}{( y ^{2} - 1 ) ^{\frac{1}{2}}} + ln (y^{2} - 1)^{\frac{1}{2}} + y + C