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integral of (-y+2)/(3(y^2-y+1))

Lösung

\int \frac{- y + 2}{3 ( y ^{2} - y + 1 )} d y

\frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 y ^{2} - 4 y}{3} + 23 arctan (\frac{2 y - 1}{3})) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{- y + 2}{3 ( y ^{2} - y + 1 )} d y

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int \frac{- y + 2}{y ^{2} - y + 1} d y

Vervollständige das Quadrat

y^{2} - y + 1 : (y - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}

= \frac{1}{3} \cdot \int \frac{- y + 2}{( y - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d y

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{3} \cdot \int \frac{2 ( - 2 u + 3 )}{4 u ^{2} + 3} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \int \frac{- 2 u + 3}{4 u ^{2} + 3} d u

Wende integrale Substitution an

= \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \int \frac{- v + 3}{2 ( v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{- v + 3}{v ^{2} + 1} d v

Multipliziere aus

\frac{- v + 3}{v ^{2} + 1} : - \frac{v}{v ^{2} + 1} + \frac{3}{v ^{2} + 1}

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} (- \int \frac{v}{v ^{2} + 1} d v + \int \frac{3}{v ^{2} + 1} d v)

\int \frac{v}{v ^{2} + 1} d v = \frac{1}{2} ln v^{2} + 1

\int \frac{3}{v ^{2} + 1} d v = 3 arctan (v)

= \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} ln v^{2} + 1 + 3 arctan (v))

Ersetze zurück

= \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} ln (\frac{2}{3} (y - \frac{1}{2}))^{2} + 1 + 3 arctan (\frac{2}{3} (y - \frac{1}{2})))

Vereinfache

\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} ln (\frac{2}{3} (y - \frac{1}{2}))^{2} + 1 + 3 arctan (\frac{2}{3} (y - \frac{1}{2}))) : \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 y ^{2} - 4 y}{3} + 23 arctan (\frac{2 y - 1}{3}))

= \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 y ^{2} - 4 y}{3} + 23 arctan (\frac{2 y - 1}{3}))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 y ^{2} - 4 y}{3} + 23 arctan (\frac{2 y - 1}{3})) + C

\int \frac{e ^{- 3 x}}{2 + e ^{- 3 x}} d x

\int (2 x^{7} + 3 x - 9)^{\frac{1}{4}} (14 x^{6} + 3) d x

\int (x + 67) cos (x) d x

\int - 6 e^{3 t} d t

\int e^{x} cos (d) x d x