integral of 2/((2x^2+1)^{3/2)}

Lösung

\int \frac{2}{( 2 x ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

\frac{2 x}{( 1 + 2 x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{2}{( 2 x ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{( 2 x ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= 2 \cdot \int \frac{1}{2 ^{\frac{1}{2}} sec ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2 ^{\frac{1}{2}}} \cdot \int \frac{1}{sec ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2 \cdot \frac{1}{2 ^{\frac{1}{2}}} \cdot \int cos (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (u) d u = sin (u)

= 2 \cdot \frac{1}{2 ^{\frac{1}{2}}} sin (u)

Setze in

u = arctan (2^{\frac{1}{2}} x)

ein

= 2 \cdot \frac{1}{2 ^{\frac{1}{2}}} sin (arctan (2^{\frac{1}{2}} x))

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{2 ^{\frac{1}{2}}} sin (arctan (2^{\frac{1}{2}} x)) : \frac{2 x}{( 1 + 2 x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

= \frac{2 x}{( 1 + 2 x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{2 x}{( 1 + 2 x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C