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受欢迎的微积分 >

integral of 2x^3sqrt(x^2+2)

解答

\int 2 x^{3} x^{2} + 2 d x

解答

2 (\frac{1}{5} (x^{2} + 2)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} (x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}}) + C

求解步骤

\int 2 x^{3} x^{2} + 2 d x

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int x^{3} x^{2} + 2 d x

使用换元积分法

= 2 \cdot \int (u^{2} - 2) u^{2} d u

乘开

(u^{2} - 2) u^{2} : u^{4} - 2 u^{2}

= 2 \cdot \int u^{4} - 2 u^{2} d u

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (\int u^{4} d u - \int 2 u^{2} d u)

\int u^{4} d u = \frac{u ^{5}}{5}

\int 2 u^{2} d u = \frac{2 u ^{3}}{3}

= 2 (\frac{u ^{5}}{5} - \frac{2 u ^{3}}{3})

u = x^{2} + 2

代回

= 2 (\frac{( x ^{2} + 2 ) ^{5}}{5} - \frac{2 ( x ^{2} + 2 ) ^{3}}{3})

化简

2 (\frac{( x ^{2} + 2 ) ^{5}}{5} - \frac{2 ( x ^{2} + 2 ) ^{3}}{3}) : 2 (\frac{1}{5} (x^{2} + 2)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} (x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}})

= 2 (\frac{1}{5} (x^{2} + 2)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} (x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}})

解答补常数

= 2 (\frac{1}{5} (x^{2} + 2)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} (x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}}) + C

作图

流行的例子

integral of (4-3x)/(5x^2+6x+18)

\int \frac{4 - 3 x}{5 x ^{2} + 6 x + 18} d x

integral of (x^2-3)/(xsqrt(x^4-4))

\int \frac{x ^{2} - 3}{x x ^{4} - 4} d x

integral of (e^{3x})/(e^{2x)-e^x-6}

\int \frac{e ^{3 x}}{e ^{2 x} - e ^{x} - 6} d x

integral of x^3sqrt(x^2-a^2)

\int x^{3} x^{2} - a^{2} d x

integral of (10^x-1)^2

\int (1 0^{x} - 1)^{2} d x