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人気のある微分積分 >

integral of x^3sqrt(x^2-a^2)

解

\int x^{3} x^{2} - a^{2} d x

解

\frac{a ^{2} ( x ^{2} - a ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{5} (x^{2} - a^{2})^{\frac{5}{2}} + C

解答ステップ

\int x^{3} x^{2} - a^{2} d x

三角関数による置換を適用する

= \int a^{5} sec^{4} (u) tan^{2} (u) d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= a^{5} \cdot \int sec^{4} (u) tan^{2} (u) d u

三角関数の公式を使用して書き換える

= a^{5} \cdot \int (1 + tan^{2} (u)) sec^{2} (u) tan^{2} (u) d u

u置換積分法を適用する

= a^{5} \cdot \int v^{2} (1 + v^{2}) d v

拡張

v^{2} (1 + v^{2}) : v^{2} + v^{4}

= a^{5} \cdot \int v^{2} + v^{4} d v

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= a^{5} (\int v^{2} d v + \int v^{4} d v)

\int v^{2} d v = \frac{v ^{3}}{3}

\int v^{4} d v = \frac{v ^{5}}{5}

= a^{5} (\frac{v ^{3}}{3} + \frac{v ^{5}}{5})

代用を戻す

= a^{5} (\frac{tan ^{3} ( arcsec ( \frac{1}{a} x ) )}{3} + \frac{tan ^{5} ( arcsec ( \frac{1}{a} x ) )}{5})

簡素化

a^{5} (\frac{tan ^{3} ( arcsec ( \frac{1}{a} x ) )}{3} + \frac{tan ^{5} ( arcsec ( \frac{1}{a} x ) )}{5}) : \frac{a ^{2} ( x ^{2} - a ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{5} (x^{2} - a^{2})^{\frac{5}{2}}

= \frac{a ^{2} ( x ^{2} - a ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{5} (x^{2} - a^{2})^{\frac{5}{2}}

定数を解答に追加する

= \frac{a ^{2} ( x ^{2} - a ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{5} (x^{2} - a^{2})^{\frac{5}{2}} + C

グラフ

人気の例

integral of (10^x-1)^2

\int (1 0^{x} - 1)^{2} d x

integral of 2xsin(x/2)

\int 2 x sin (\frac{x}{2}) d x

integral of (x-8)/(x^2+9)

\int \frac{x - 8}{x ^{2} + 9} d x

integral of (x^2+2)/(2x^2+1)

\int \frac{x ^{2} + 2}{2 x ^{2} + 1} d x

integral of (x^2+2)(x^3+6x+1)^{1/2}

\int (x^{2} + 2) (x^{3} + 6 x + 1)^{\frac{1}{2}} d x