integral of (2x^2-3x+1)e^{-3x}

解

\int (2 x^{2} - 3 x + 1) e^{- 3 x} d x

- \frac{2}{3} e^{- 3 x} x^{2} + \frac{5}{9} e^{- 3 x} x - \frac{4}{27} e^{- 3 x} + C

解答ステップ

\int (2 x^{2} - 3 x + 1) e^{- 3 x} d x

拡張

(2 x^{2} - 3 x + 1) e^{- 3 x} : 2 e^{- 3 x} x^{2} - 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}

= \int 2 e^{- 3 x} x^{2} - 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int 2 e^{- 3 x} x^{2} d x - \int 3 e^{- 3 x} x d x + \int e^{- 3 x} d x

\int 2 e^{- 3 x} x^{2} d x = - \frac{2}{27} (9 e^{- 3 x} x^{2} - 2 (- 3 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x}))

\int 3 e^{- 3 x} x d x = - e^{- 3 x} x - \frac{1}{3} e^{- 3 x}

\int e^{- 3 x} d x = - \frac{1}{3} e^{- 3 x}

= - \frac{2}{27} (9 e^{- 3 x} x^{2} - 2 (- 3 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x})) - (- e^{- 3 x} x - \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \frac{1}{3} e^{- 3 x}

簡素化

- \frac{2}{27} (9 e^{- 3 x} x^{2} - 2 (- 3 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x})) - (- e^{- 3 x} x - \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \frac{1}{3} e^{- 3 x} : - \frac{2}{3} e^{- 3 x} x^{2} + \frac{5}{9} e^{- 3 x} x - \frac{4}{27} e^{- 3 x}

= - \frac{2}{3} e^{- 3 x} x^{2} + \frac{5}{9} e^{- 3 x} x - \frac{4}{27} e^{- 3 x}

定数を解答に追加する

= - \frac{2}{3} e^{- 3 x} x^{2} + \frac{5}{9} e^{- 3 x} x - \frac{4}{27} e^{- 3 x} + C