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integral of (tan(ax)-cot(ax))^3

Lösung

\int (tan (a x) - cot (a x))^{3} d x

- \frac{4}{a} (- \frac{1}{2} cot^{2} (2 a x) - ln ∣ sin (2 a x) ∣) + C

Schritte zur Lösung

\int (tan (a x) - cot (a x))^{3} d x

Vereinfache

(tan (a x) - cot (a x))^{3} : (tan (a x) - cot (a x))^{2} (tan (a x) - cot (a x))

= \int (tan (a x) - cot (a x))^{2} (tan (a x) - cot (a x)) d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{( tan ( u ) - cot ( u ) ) ^{3}}{a} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{a} \cdot \int (tan (u) - cot (u))^{3} d u

Vereinfache

(tan (u) - cot (u))^{3} : - 8 cot^{3} (2 u)

= \frac{1}{a} \cdot \int - 8 cot^{3} (2 u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{a} (- 8 \cdot \int cot^{3} (2 u) d u)

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{a} (- 8 \cdot \int cot^{3} (v) \frac{1}{2} d v)

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{a} (- 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int cot^{3} (v) d v)

Wende integrale Reduktion an

= \frac{1}{a} (- 8 \cdot \frac{1}{2} (- \frac{cot ^{2} ( v )}{2} - \int cot (v) d v))

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{a} (- 8 \cdot \frac{1}{2} (- \frac{cot ^{2} ( v )}{2} - \int \frac{cos ( v )}{sin ( v )} d v))

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{a} (- 8 \cdot \frac{1}{2} (- \frac{cot ^{2} ( v )}{2} - \int \frac{1}{w} d w))

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{w} d w = ln (∣ w ∣)

= \frac{1}{a} (- 8 \cdot \frac{1}{2} (- \frac{cot ^{2} ( v )}{2} - ln ∣ w ∣))

Ersetze zurück

= \frac{1}{a} (- 8 \cdot \frac{1}{2} (- \frac{cot ^{2} ( 2 a x )}{2} - ln ∣ sin (2 a x) ∣))

Vereinfache

\frac{1}{a} (- 8 \cdot \frac{1}{2} (- \frac{cot ^{2} ( 2 a x )}{2} - ln ∣ sin (2 a x) ∣)) : - \frac{4}{a} (- \frac{1}{2} cot^{2} (2 a x) - ln ∣ sin (2 a x) ∣)

= - \frac{4}{a} (- \frac{1}{2} cot^{2} (2 a x) - ln ∣ sin (2 a x) ∣)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{4}{a} (- \frac{1}{2} cot^{2} (2 a x) - ln ∣ sin (2 a x) ∣) + C

\int 2 x \cdot (x^{2} + 1) d x

\int \frac{4}{2 - e ^{x}} d x

\int \frac{( a ^{2} - a )}{3 - a ^{2}} d a

\int arcsin (\frac{5 z}{2}) d z

\int \frac{sin ( π x ^{2} )}{x} d x