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Beliebt Trigonometrie >

3(1-cos(3x))=sin^2(3x)

Lösung

3 (1 - cos (3 x)) = sin^{2} (3 x)

Lösung

x = \frac{2 πn}{3}

Grad

x = 0^{\circ} + 12 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 (1 - cos (3 x)) = sin^{2} (3 x)

Subtrahiere

sin^{2} (3 x)

von beiden Seiten

3 (1 - cos (3 x)) - sin^{2} (3 x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- sin^{2} (3 x) + (1 - cos (3 x)) \cdot 3

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - (1 - cos^{2} (3 x)) + (1 - cos (3 x)) \cdot 3

Vereinfache

- (1 - cos^{2} (3 x)) + (1 - cos (3 x)) \cdot 3 : cos^{2} (3 x) - 3 cos (3 x) + 2

- (1 - cos^{2} (3 x)) + (1 - cos (3 x)) \cdot 3

= - (1 - cos^{2} (3 x)) + 3 (1 - cos (3 x))

- (1 - cos^{2} (3 x)) : - 1 + cos^{2} (3 x)

- (1 - cos^{2} (3 x))

Setze Klammern

= - (1) - (- cos^{2} (3 x))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (3 x)

= - 1 + cos^{2} (3 x) + (1 - cos (3 x)) \cdot 3

Multipliziere aus

3 (1 - cos (3 x)) : 3 - 3 cos (3 x)

3 (1 - cos (3 x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = cos (3 x)

= 3 \cdot 1 - 3 cos (3 x)

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 cos (3 x)

= - 1 + cos^{2} (3 x) + 3 - 3 cos (3 x)

Vereinfache

- 1 + cos^{2} (3 x) + 3 - 3 cos (3 x) : cos^{2} (3 x) - 3 cos (3 x) + 2

- 1 + cos^{2} (3 x) + 3 - 3 cos (3 x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= cos^{2} (3 x) - 3 cos (3 x) - 1 + 3

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 3 = 2

= cos^{2} (3 x) - 3 cos (3 x) + 2

= cos^{2} (3 x) - 3 cos (3 x) + 2

= cos^{2} (3 x) - 3 cos (3 x) + 2

2 + cos^{2} (3 x) - 3 cos (3 x) = 0

Löse mit Substitution

2 + cos^{2} (3 x) - 3 cos (3 x) = 0

Angenommen:

cos (3 x) = u

2 + u^{2} - 3 u = 0

2 + u^{2} - 3 u = 0 : u = 2, u = 1

2 + u^{2} - 3 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - 3 u + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - 3 u + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 3, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}{2 \cdot 1}

(- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1

(- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 3^{2} - 8

3^{2} = 9

= 9 - 8

Subtrahiere die Zahlen:

9 - 8 = 1

= 1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 1}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 1}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 1}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 3 ) + 1}{2 \cdot 1} : 2

\frac{- ( - 3 ) + 1}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{3 + 1}{2 \cdot 1}

Addiere die Zahlen:

3 + 1 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{2} = 2

= 2

u = \frac{- ( - 3 ) - 1}{2 \cdot 1} : 1

\frac{- ( - 3 ) - 1}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{3 - 1}{2 \cdot 1}

Subtrahiere die Zahlen:

3 - 1 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 2, u = 1

Setze in

u = cos (3 x)

ein

cos (3 x) = 2, cos (3 x) = 1

cos (3 x) = 2, cos (3 x) = 1

cos (3 x) = 2 :

Keine Lösung

cos (3 x) = 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (3 x) = 1 : x = \frac{2 πn}{3}

cos (3 x) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (3 x) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

3 x = 0 + 2 πn

3 x = 0 + 2 πn

Löse

3 x = 0 + 2 πn : x = \frac{2 πn}{3}

3 x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

3 x = 2 πn

Teile beide Seiten durch

3

3 x = 2 πn

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 x}{3} = \frac{2 πn}{3}

Vereinfache

x = \frac{2 πn}{3}

x = \frac{2 πn}{3}

x = \frac{2 πn}{3}

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{2 πn}{3}

Graph

Beliebte Beispiele

sin(2x)+sqrt(3)sin(x)=0

sin (2 x) + 3 sin (x) = 0

cos(2θ)+10sin^2(θ)=5

cos (2 θ) + 10 sin^{2} (θ) = 5

9sin^2(θ)-4=0

9 sin^{2} (θ) - 4 = 0

sec(x)(2cos(x)-sqrt(2))=0

sec (x) (2 cos (x) - 2) = 0

2cos(θ)-2=0

2 cos (θ) - 2 = 0