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Beliebt Trigonometrie >

sin(θ)-sin(2θ)=0

Lösung

sin (θ) - sin (2 θ) = 0

Lösung

θ = \frac{π}{3} + \frac{4 πn}{3}, θ = π + \frac{4 πn}{3}, θ = 4 πn, θ = 2 π + 4 πn

Grad

θ = 6 0^{\circ} + 24 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 24 0^{\circ} n, θ = 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, θ = 36 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin (θ) - sin (2 θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- sin (2 θ) + sin (θ)

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

sin (s) - sin (t) = 2 sin (\frac{s - t}{2}) cos (\frac{s + t}{2})

= 2 sin (\frac{θ - 2 θ}{2}) cos (\frac{θ + 2 θ}{2})

Vereinfache

2 sin (\frac{θ - 2 θ}{2}) cos (\frac{θ + 2 θ}{2}) : - 2 cos (\frac{3 θ}{2}) sin (\frac{θ}{2})

2 sin (\frac{θ - 2 θ}{2}) cos (\frac{θ + 2 θ}{2})

\frac{θ - 2 θ}{2} = - \frac{θ}{2}

\frac{θ - 2 θ}{2}

Addiere gleiche Elemente:

θ - 2 θ = - θ

= \frac{- θ}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{θ}{2}

= 2 sin (- \frac{θ}{2}) cos (\frac{θ + 2 θ}{2})

Verwende die negative Winkelidentität:

sin (- x) = - sin (x)

= 2 cos (\frac{θ + 2 θ}{2}) (- sin (\frac{θ}{2}))

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= - 2 cos (\frac{θ + 2 θ}{2}) sin (\frac{θ}{2})

Addiere gleiche Elemente:

θ + 2 θ = 3 θ

= - 2 cos (\frac{3 θ}{2}) sin (\frac{θ}{2})

= - 2 cos (\frac{3 θ}{2}) sin (\frac{θ}{2})

- 2 cos (\frac{3 θ}{2}) sin (\frac{θ}{2}) = 0

Löse jeden Teil einzeln

cos (\frac{3 θ}{2}) = 0 or sin (\frac{θ}{2}) = 0

cos (\frac{3 θ}{2}) = 0 : θ = \frac{π}{3} + \frac{4 πn}{3}, θ = π + \frac{4 πn}{3}

cos (\frac{3 θ}{2}) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (\frac{3 θ}{2}) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

\frac{3 θ}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn, \frac{3 θ}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

\frac{3 θ}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn, \frac{3 θ}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Löse

\frac{3 θ}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn : θ = \frac{π}{3} + \frac{4 πn}{3}

\frac{3 θ}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{3 θ}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 \cdot 3 θ}{2} = 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 \cdot 3 θ}{2} = 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 \cdot 3 θ}{2} : 3 θ

\frac{2 \cdot 3 θ}{2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{6 θ}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{6}{2} = 3

= 3 θ

Vereinfache

2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn : π + 4 πn

2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{π}{2} = π

2 \cdot \frac{π}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= π

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= π + 4 πn

3 θ = π + 4 πn

3 θ = π + 4 πn

3 θ = π + 4 πn

Teile beide Seiten durch

3

3 θ = π + 4 πn

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 θ}{3} = \frac{π}{3} + \frac{4 πn}{3}

Vereinfache

θ = \frac{π}{3} + \frac{4 πn}{3}

θ = \frac{π}{3} + \frac{4 πn}{3}

Löse

\frac{3 θ}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn : θ = π + \frac{4 πn}{3}

\frac{3 θ}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{3 θ}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 \cdot 3 θ}{2} = 2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 \cdot 3 θ}{2} = 2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 \cdot 3 θ}{2} : 3 θ

\frac{2 \cdot 3 θ}{2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{6 θ}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{6}{2} = 3

= 3 θ

Vereinfache

2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn : 3 π + 4 πn

2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{3 π}{2} = 3 π

2 \cdot \frac{3 π}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 π 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 3 π

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= 3 π + 4 πn

3 θ = 3 π + 4 πn

3 θ = 3 π + 4 πn

3 θ = 3 π + 4 πn

Teile beide Seiten durch

3

3 θ = 3 π + 4 πn

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 θ}{3} = \frac{3 π}{3} + \frac{4 πn}{3}

Vereinfache

θ = π + \frac{4 πn}{3}

θ = π + \frac{4 πn}{3}

θ = \frac{π}{3} + \frac{4 πn}{3}, θ = π + \frac{4 πn}{3}

sin (\frac{θ}{2}) = 0 : θ = 4 πn, θ = 2 π + 4 πn

sin (\frac{θ}{2}) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (\frac{θ}{2}) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

\frac{θ}{2} = 0 + 2 πn, \frac{θ}{2} = π + 2 πn

\frac{θ}{2} = 0 + 2 πn, \frac{θ}{2} = π + 2 πn

Löse

\frac{θ}{2} = 0 + 2 πn : θ = 4 πn

\frac{θ}{2} = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

\frac{θ}{2} = 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{θ}{2} = 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 θ}{2} = 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

θ = 4 πn

θ = 4 πn

Löse

\frac{θ}{2} = π + 2 πn : θ = 2 π + 4 πn

\frac{θ}{2} = π + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{θ}{2} = π + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 θ}{2} = 2 π + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

θ = 2 π + 4 πn

θ = 2 π + 4 πn

θ = 4 πn, θ = 2 π + 4 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{3} + \frac{4 πn}{3}, θ = π + \frac{4 πn}{3}, θ = 4 πn, θ = 2 π + 4 πn

Graph

Beliebte Beispiele

16cos(8x)-2=6

16 cos (8 x) - 2 = 6

sin(x/2)=cos(x)

sin (\frac{x}{2}) = cos (x)

4sin^2(θ)-4sin(θ)+1=0

4 sin^{2} (θ) - 4 sin (θ) + 1 = 0

2cos(θ)-3=5cos(θ)-5

2 cos (θ) - 3 = 5 cos (θ) - 5

tan(θ)= 4/5

tan (θ) = \frac{4}{5}