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Popular Trigonometria >

sin(θ)-sin(2θ)=0

Solução

sin (θ) - sin (2 θ) = 0

Solução

θ = \frac{π}{3} + \frac{4 πn}{3}, θ = π + \frac{4 πn}{3}, θ = 4 πn, θ = 2 π + 4 πn

Graus

θ = 6 0^{\circ} + 24 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 24 0^{\circ} n, θ = 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, θ = 36 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n

Passos da solução

sin (θ) - sin (2 θ) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- sin (2 θ) + sin (θ)

Use a identidade da transformação de soma em produto:

sin (s) - sin (t) = 2 sin (\frac{s - t}{2}) cos (\frac{s + t}{2})

= 2 sin (\frac{θ - 2 θ}{2}) cos (\frac{θ + 2 θ}{2})

Simplificar

2 sin (\frac{θ - 2 θ}{2}) cos (\frac{θ + 2 θ}{2}) : - 2 cos (\frac{3 θ}{2}) sin (\frac{θ}{2})

2 sin (\frac{θ - 2 θ}{2}) cos (\frac{θ + 2 θ}{2})

\frac{θ - 2 θ}{2} = - \frac{θ}{2}

\frac{θ - 2 θ}{2}

Somar elementos similares:

θ - 2 θ = - θ

= \frac{- θ}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{θ}{2}

= 2 sin (- \frac{θ}{2}) cos (\frac{θ + 2 θ}{2})

Use a identidade de ângulo negativo:

sin (- x) = - sin (x)

= 2 cos (\frac{θ + 2 θ}{2}) (- sin (\frac{θ}{2}))

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= - 2 cos (\frac{θ + 2 θ}{2}) sin (\frac{θ}{2})

Somar elementos similares:

θ + 2 θ = 3 θ

= - 2 cos (\frac{3 θ}{2}) sin (\frac{θ}{2})

= - 2 cos (\frac{3 θ}{2}) sin (\frac{θ}{2})

- 2 cos (\frac{3 θ}{2}) sin (\frac{θ}{2}) = 0

Resolver cada parte separadamente

cos (\frac{3 θ}{2}) = 0 or sin (\frac{θ}{2}) = 0

cos (\frac{3 θ}{2}) = 0 : θ = \frac{π}{3} + \frac{4 πn}{3}, θ = π + \frac{4 πn}{3}

cos (\frac{3 θ}{2}) = 0

Soluções gerais para

cos (\frac{3 θ}{2}) = 0

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

\frac{3 θ}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn, \frac{3 θ}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

\frac{3 θ}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn, \frac{3 θ}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Resolver

\frac{3 θ}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn : θ = \frac{π}{3} + \frac{4 πn}{3}

\frac{3 θ}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{3 θ}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{2 \cdot 3 θ}{2} = 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 \cdot 3 θ}{2} = 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 \cdot 3 θ}{2} : 3 θ

\frac{2 \cdot 3 θ}{2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{6 θ}{2}

Dividir:

\frac{6}{2} = 3

= 3 θ

Simplificar

2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn : π + 4 πn

2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{π}{2} = π

2 \cdot \frac{π}{2}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= π

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= π + 4 πn

3 θ = π + 4 πn

3 θ = π + 4 πn

3 θ = π + 4 πn

Dividir ambos os lados por

3

3 θ = π + 4 πn

Dividir ambos os lados por

3

\frac{3 θ}{3} = \frac{π}{3} + \frac{4 πn}{3}

Simplificar

θ = \frac{π}{3} + \frac{4 πn}{3}

θ = \frac{π}{3} + \frac{4 πn}{3}

Resolver

\frac{3 θ}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn : θ = π + \frac{4 πn}{3}

\frac{3 θ}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{3 θ}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{2 \cdot 3 θ}{2} = 2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 \cdot 3 θ}{2} = 2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 \cdot 3 θ}{2} : 3 θ

\frac{2 \cdot 3 θ}{2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{6 θ}{2}

Dividir:

\frac{6}{2} = 3

= 3 θ

Simplificar

2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn : 3 π + 4 πn

2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{3 π}{2} = 3 π

2 \cdot \frac{3 π}{2}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 π 2}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= 3 π

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= 3 π + 4 πn

3 θ = 3 π + 4 πn

3 θ = 3 π + 4 πn

3 θ = 3 π + 4 πn

Dividir ambos os lados por

3

3 θ = 3 π + 4 πn

Dividir ambos os lados por

3

\frac{3 θ}{3} = \frac{3 π}{3} + \frac{4 πn}{3}

Simplificar

θ = π + \frac{4 πn}{3}

θ = π + \frac{4 πn}{3}

θ = \frac{π}{3} + \frac{4 πn}{3}, θ = π + \frac{4 πn}{3}

sin (\frac{θ}{2}) = 0 : θ = 4 πn, θ = 2 π + 4 πn

sin (\frac{θ}{2}) = 0

Soluções gerais para

sin (\frac{θ}{2}) = 0

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

\frac{θ}{2} = 0 + 2 πn, \frac{θ}{2} = π + 2 πn

\frac{θ}{2} = 0 + 2 πn, \frac{θ}{2} = π + 2 πn

Resolver

\frac{θ}{2} = 0 + 2 πn : θ = 4 πn

\frac{θ}{2} = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

\frac{θ}{2} = 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{θ}{2} = 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{2 θ}{2} = 2 \cdot 2 πn

Simplificar

θ = 4 πn

θ = 4 πn

Resolver

\frac{θ}{2} = π + 2 πn : θ = 2 π + 4 πn

\frac{θ}{2} = π + 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{θ}{2} = π + 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{2 θ}{2} = 2 π + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

θ = 2 π + 4 πn

θ = 2 π + 4 πn

θ = 4 πn, θ = 2 π + 4 πn

Combinar toda as soluções

θ = \frac{π}{3} + \frac{4 πn}{3}, θ = π + \frac{4 πn}{3}, θ = 4 πn, θ = 2 π + 4 πn

Gráfico

Exemplos populares

16cos(8x)-2=6

sin(x/2)=cos(x)

4sin^2(θ)-4sin(θ)+1=0

2cos(θ)-3=5cos(θ)-5

tan(θ)= 4/5