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Beliebt Trigonometrie >

sin^2(x)-4cos(x)+4=0

Lösung

sin^{2} (x) - 4 cos (x) + 4 = 0

Lösung

x = 2 πn

Grad

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin^{2} (x) - 4 cos (x) + 4 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

4 + sin^{2} (x) - 4 cos (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 4 + 1 - cos^{2} (x) - 4 cos (x)

Vereinfache

= - cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 5

5 - cos^{2} (x) - 4 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

5 - cos^{2} (x) - 4 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

5 - u^{2} - 4 u = 0

5 - u^{2} - 4 u = 0 : u = - 5, u = 1

5 - u^{2} - 4 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} - 4 u + 5 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- u^{2} - 4 u + 5 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 1, b = - 4, c = 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 5}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 5}{2 ( - 1 )}

(- 4)^{2} - 4 (- 1) \cdot 5 = 6

(- 4)^{2} - 4 (- 1) \cdot 5

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 4)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 5

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 5 = 20

= 4^{2} + 20

4^{2} = 16

= 16 + 20

Addiere die Zahlen:

16 + 20 = 36

= 36

Faktorisiere die Zahl:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 6}{2 ( - 1 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 6}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 6}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- ( - 4 ) + 6}{2 ( - 1 )} : - 5

\frac{- ( - 4 ) + 6}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 + 6}{- 2 \cdot 1}

Addiere die Zahlen:

4 + 6 = 10

= \frac{10}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{10}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{10}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{10}{2} = 5

= - 5

u = \frac{- ( - 4 ) - 6}{2 ( - 1 )} : 1

\frac{- ( - 4 ) - 6}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 - 6}{- 2 \cdot 1}

Subtrahiere die Zahlen:

4 - 6 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 5, u = 1

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - 5, cos (x) = 1

cos (x) = - 5, cos (x) = 1

cos (x) = - 5 :

Keine Lösung

cos (x) = - 5

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sec(θ)=sin^2(θ)sec(θ)

sec (θ) = sin^{2} (θ) sec (θ)

sin(2θ)+sin(θ)=0,0<= θ<= 2pi

sin (2 θ) + sin (θ) = 0, 0 \leq θ \leq 2 π

1+cos(x)=2-cos(x)

1 + cos (x) = 2 - cos (x)

cos^2(x)-3cos(x)-4=0

cos^{2} (x) - 3 cos (x) - 4 = 0

2sin^2(x)=sin(x)+3

2 sin^{2} (x) = sin (x) + 3