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cos^2(x)-8cos(x)-1=0

Solução

cos^{2} (x) - 8 cos (x) - 1 = 0

Solução

x = 1.69421 \dots + 2 πn, x = - 1.69421 \dots + 2 πn

Graus

x = 97.07137 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 97.07137 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

cos^{2} (x) - 8 cos (x) - 1 = 0

Usando o método de substituição

cos^{2} (x) - 8 cos (x) - 1 = 0

Sea:

cos (x) = u

u^{2} - 8 u - 1 = 0

u^{2} - 8 u - 1 = 0 : u = 4 + 17, u = 4 - 17

u^{2} - 8 u - 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

u^{2} - 8 u - 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 1, b = - 8, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

(- 8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 217

(- 8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= (- 8)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 8^{2} + 4

8^{2} = 64

= 64 + 4

Somar:

64 + 4 = 68

= 68

Decomposição em fatores primos de

68 : 2^{2} \cdot 17

68

68

dividida por

268 = 34 \cdot 2

= 2 \cdot 34

34

dividida por

234 = 17 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 17

2, 17

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 2 \cdot 17

= 2^{2} \cdot 17

= 2^{2} \cdot 17

Aplicar as propriedades dos radicais:

= 17 2^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

2^{2} = 2

= 217

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 2 17}{2 \cdot 1}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 2 17}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 2 17}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 8 ) + 2 17}{2 \cdot 1} : 4 + 17

\frac{- ( - 8 ) + 2 17}{2 \cdot 1}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{8 + 2 17}{2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{8 + 2 17}{2}

Fatorar

8 + 217 : 2 (4 + 17)

8 + 217

Reescrever como

= 2 \cdot 4 + 217

Fatorar o termo comum

2

= 2 (4 + 17)

= \frac{2 ( 4 + 17 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 4 + 17

u = \frac{- ( - 8 ) - 2 17}{2 \cdot 1} : 4 - 17

\frac{- ( - 8 ) - 2 17}{2 \cdot 1}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{8 - 2 17}{2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{8 - 2 17}{2}

Fatorar

8 - 217 : 2 (4 - 17)

8 - 217

Reescrever como

= 2 \cdot 4 - 217

Fatorar o termo comum

2

= 2 (4 - 17)

= \frac{2 ( 4 - 17 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 4 - 17

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = 4 + 17, u = 4 - 17

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = 4 + 17, cos (x) = 4 - 17

cos (x) = 4 + 17, cos (x) = 4 - 17

cos (x) = 4 + 17 :

Sem solução

cos (x) = 4 + 17

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

cos (x) = 4 - 17 : x = arccos (4 - 17) + 2 πn, x = - arccos (4 - 17) + 2 πn

cos (x) = 4 - 17

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = 4 - 17

Soluções gerais para

cos (x) = 4 - 17

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (4 - 17) + 2 πn, x = - arccos (4 - 17) + 2 πn

x = arccos (4 - 17) + 2 πn, x = - arccos (4 - 17) + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = arccos (4 - 17) + 2 πn, x = - arccos (4 - 17) + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

x = 1.69421 \dots + 2 πn, x = - 1.69421 \dots + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

cos(x)+2=1

2cos(2θ)=-1

3cot^2(x)=sqrt(3)cot(x)

sin(7x)=(sqrt(3))/2

-1.9sin(t)=0.4cos(2t)