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Beliebt Trigonometrie >

cos^2(x)-8cos(x)-1=0

Lösung

cos^{2} (x) - 8 cos (x) - 1 = 0

Lösung

x = 1.69421 \dots + 2 πn, x = - 1.69421 \dots + 2 πn

Grad

x = 97.07137 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 97.07137 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos^{2} (x) - 8 cos (x) - 1 = 0

Löse mit Substitution

cos^{2} (x) - 8 cos (x) - 1 = 0

Angenommen:

cos (x) = u

u^{2} - 8 u - 1 = 0

u^{2} - 8 u - 1 = 0 : u = 4 + 17, u = 4 - 17

u^{2} - 8 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - 8 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 8, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

(- 8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 217

(- 8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 8)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 8^{2} + 4

8^{2} = 64

= 64 + 4

Addiere die Zahlen:

64 + 4 = 68

= 68

Primfaktorzerlegung von

68 : 2^{2} \cdot 17

68

68

ist durch

268 = 34 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 34

34

ist durch

234 = 17 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 17

2, 17

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 17

= 2^{2} \cdot 17

= 2^{2} \cdot 17

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 17 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 217

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 2 17}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 2 17}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 2 17}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 8 ) + 2 17}{2 \cdot 1} : 4 + 17

\frac{- ( - 8 ) + 2 17}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{8 + 2 17}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{8 + 2 17}{2}

Faktorisiere

8 + 217 : 2 (4 + 17)

8 + 217

Schreibe um

= 2 \cdot 4 + 217

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (4 + 17)

= \frac{2 ( 4 + 17 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 4 + 17

u = \frac{- ( - 8 ) - 2 17}{2 \cdot 1} : 4 - 17

\frac{- ( - 8 ) - 2 17}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{8 - 2 17}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{8 - 2 17}{2}

Faktorisiere

8 - 217 : 2 (4 - 17)

8 - 217

Schreibe um

= 2 \cdot 4 - 217

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (4 - 17)

= \frac{2 ( 4 - 17 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 4 - 17

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 4 + 17, u = 4 - 17

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = 4 + 17, cos (x) = 4 - 17

cos (x) = 4 + 17, cos (x) = 4 - 17

cos (x) = 4 + 17 :

Keine Lösung

cos (x) = 4 + 17

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = 4 - 17 : x = arccos (4 - 17) + 2 πn, x = - arccos (4 - 17) + 2 πn

cos (x) = 4 - 17

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = 4 - 17

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 4 - 17

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (4 - 17) + 2 πn, x = - arccos (4 - 17) + 2 πn

x = arccos (4 - 17) + 2 πn, x = - arccos (4 - 17) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (4 - 17) + 2 πn, x = - arccos (4 - 17) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.69421 \dots + 2 πn, x = - 1.69421 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(x)+2=1

cos (x) + 2 = 1

2cos(2θ)=-1

2 cos (2 θ) = - 1

3cot^2(x)=sqrt(3)cot(x)

3 cot^{2} (x) = 3 cot (x)

sin(7x)=(sqrt(3))/2

sin (7 x) = \frac{3}{2}

-1.9sin(t)=0.4cos(2t)

- 1.9 sin (t) = 0.4 cos (2 t)