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Populaire Trigonométrie >

2tan(x)=3csc(x)

Solution

2 tan (x) = 3 csc (x)

Solution

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Degrés

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

2 tan (x) = 3 csc (x)

Soustraire

3 csc (x)

des deux côtés

2 tan (x) - 3 csc (x) = 0

Exprimer avec sinus, cosinus

2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 3 \cdot \frac{1}{sin ( x )} = 0

Simplifier

2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 3 \cdot \frac{1}{sin ( x )} : \frac{2 sin ^{2} ( x ) - 3 cos ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 3 \cdot \frac{1}{sin ( x )}

2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{2 sin ( x )}{cos ( x )}

2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) \cdot 2}{cos ( x )}

3 \cdot \frac{1}{sin ( x )} = \frac{3}{sin ( x )}

3 \cdot \frac{1}{sin ( x )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{sin ( x )}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3}{sin ( x )}

= \frac{2 sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{3}{sin ( x )}

Plus petit commun multiple de

cos (x), sin (x) : cos (x) sin (x)

cos (x), sin (x)

Plus petit commun multiple (PPCM)

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent soit dans

cos (x)

ou dans

sin (x)

= cos (x) sin (x)

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

cos (x) sin (x)

Pour

\frac{sin ( x ) \cdot 2}{cos ( x )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

sin (x)

\frac{sin ( x ) \cdot 2}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) \cdot 2 sin ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = \frac{2 sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Pour

\frac{3}{sin ( x )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

cos (x)

\frac{3}{sin ( x )} = \frac{3 cos ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{2 sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} - \frac{3 cos ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 sin ^{2} ( x ) - 3 cos ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

\frac{2 sin ^{2} ( x ) - 3 cos ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 sin^{2} (x) - 3 cos (x) = 0

Ajouter

3 cos (x)

aux deux côtés

2 sin^{2} (x) = 3 cos (x)

Mettre les deux côtés au carré

(2 sin^{2} (x))^{2} = (3 cos (x))^{2}

Soustraire

(3 cos (x))^{2}

des deux côtés

4 sin^{4} (x) - 9 cos^{2} (x) = 0

Factoriser

4 sin^{4} (x) - 9 cos^{2} (x) : (2 sin^{2} (x) + 3 cos (x)) (2 sin^{2} (x) - 3 cos (x))

4 sin^{4} (x) - 9 cos^{2} (x)

Récrire

4 sin^{4} (x) - 9 cos^{2} (x)

comme

(2 sin^{2} (x))^{2} - (3 cos (x))^{2}

4 sin^{4} (x) - 9 cos^{2} (x)

Récrire

4

comme

2^{2}

= 2^{2} sin^{4} (x) - 9 cos^{2} (x)

Récrire

9

comme

3^{2}

= 2^{2} sin^{4} (x) - 3^{2} cos^{2} (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

sin^{4} (x) = (sin^{2} (x))^{2}

= 2^{2} (sin^{2} (x))^{2} - 3^{2} cos^{2} (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

2^{2} (sin^{2} (x))^{2} = (2 sin^{2} (x))^{2}

= (2 sin^{2} (x))^{2} - 3^{2} cos^{2} (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

3^{2} cos^{2} (x) = (3 cos (x))^{2}

= (2 sin^{2} (x))^{2} - (3 cos (x))^{2}

= (2 sin^{2} (x))^{2} - (3 cos (x))^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 sin^{2} (x))^{2} - (3 cos (x))^{2} = (2 sin^{2} (x) + 3 cos (x)) (2 sin^{2} (x) - 3 cos (x))

= (2 sin^{2} (x) + 3 cos (x)) (2 sin^{2} (x) - 3 cos (x))

(2 sin^{2} (x) + 3 cos (x)) (2 sin^{2} (x) - 3 cos (x)) = 0

En solutionnant chaque partie séparément

2 sin^{2} (x) + 3 cos (x) = 0 or 2 sin^{2} (x) - 3 cos (x) = 0

2 sin^{2} (x) + 3 cos (x) = 0 : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

2 sin^{2} (x) + 3 cos (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

2 sin^{2} (x) + 3 cos (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 2 (1 - cos^{2} (x)) + 3 cos (x)

(1 - cos^{2} (x)) \cdot 2 + 3 cos (x) = 0

Résoudre par substitution

(1 - cos^{2} (x)) \cdot 2 + 3 cos (x) = 0

Soit :

cos (x) = u

(1 - u^{2}) \cdot 2 + 3 u = 0

(1 - u^{2}) \cdot 2 + 3 u = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = 2

(1 - u^{2}) \cdot 2 + 3 u = 0

Développer

(1 - u^{2}) \cdot 2 + 3 u : 2 - 2 u^{2} + 3 u

(1 - u^{2}) \cdot 2 + 3 u

= 2 (1 - u^{2}) + 3 u

Développer

2 (1 - u^{2}) : 2 - 2 u^{2}

2 (1 - u^{2})

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = u^{2}

= 2 \cdot 1 - 2 u^{2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 u^{2}

= 2 - 2 u^{2} + 3 u

2 - 2 u^{2} + 3 u = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} + 3 u + 2 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 2 u^{2} + 3 u + 2 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 2, b = 3, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 2}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 2}{2 ( - 2 )}

3^{2} - 4 (- 2) \cdot 2 = 5

3^{2} - 4 (- 2) \cdot 2

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 3^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 2

Multiplier les nombres :

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 3^{2} + 16

3^{2} = 9

= 9 + 16

Additionner les nombres :

9 + 16 = 25

= 25

Factoriser le nombre :

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

5^{2} = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 5}{2 ( - 2 )}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 3 + 5}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- 3 - 5}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- 3 + 5}{2 ( - 2 )} : - \frac{1}{2}

\frac{- 3 + 5}{2 ( - 2 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 3 + 5}{- 2 \cdot 2}

Additionner/Soustraire les nombres :

- 3 + 5 = 2

= \frac{2}{- 2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{- 4}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{4}

Annuler le facteur commun :

2

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- 3 - 5}{2 ( - 2 )} : 2

\frac{- 3 - 5}{2 ( - 2 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 3 - 5}{- 2 \cdot 2}

Soustraire les nombres :

- 3 - 5 = - 8

= \frac{- 8}{- 2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 8}{- 4}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{8}{4}

Diviser les nombres :

\frac{8}{4} = 2

= 2

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - \frac{1}{2}, u = 2

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = 2

cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = 2

cos (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2}

Solutions générales pour

cos (x) = - \frac{1}{2}

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = 2 :

Aucune solution

cos (x) = 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Aucune solution

Combiner toutes les solutions

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

2 sin^{2} (x) - 3 cos (x) = 0 : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

2 sin^{2} (x) - 3 cos (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

2 sin^{2} (x) - 3 cos (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 2 (1 - cos^{2} (x)) - 3 cos (x)

(1 - cos^{2} (x)) \cdot 2 - 3 cos (x) = 0

Résoudre par substitution

(1 - cos^{2} (x)) \cdot 2 - 3 cos (x) = 0

Soit :

cos (x) = u

(1 - u^{2}) \cdot 2 - 3 u = 0

(1 - u^{2}) \cdot 2 - 3 u = 0 : u = - 2, u = \frac{1}{2}

(1 - u^{2}) \cdot 2 - 3 u = 0

Développer

(1 - u^{2}) \cdot 2 - 3 u : 2 - 2 u^{2} - 3 u

(1 - u^{2}) \cdot 2 - 3 u

= 2 (1 - u^{2}) - 3 u

Développer

2 (1 - u^{2}) : 2 - 2 u^{2}

2 (1 - u^{2})

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = u^{2}

= 2 \cdot 1 - 2 u^{2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 u^{2}

= 2 - 2 u^{2} - 3 u

2 - 2 u^{2} - 3 u = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} - 3 u + 2 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 2 u^{2} - 3 u + 2 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 2, b = - 3, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 2}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 2}{2 ( - 2 )}

(- 3)^{2} - 4 (- 2) \cdot 2 = 5

(- 3)^{2} - 4 (- 2) \cdot 2

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 2

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 2

Multiplier les nombres :

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 3^{2} + 16

3^{2} = 9

= 9 + 16

Additionner les nombres :

9 + 16 = 25

= 25

Factoriser le nombre :

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

5^{2} = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 5}{2 ( - 2 )}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 5}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 5}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- ( - 3 ) + 5}{2 ( - 2 )} : - 2

\frac{- ( - 3 ) + 5}{2 ( - 2 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{3 + 5}{- 2 \cdot 2}

Additionner les nombres :

3 + 5 = 8

= \frac{8}{- 2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{8}{- 4}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{4}

Diviser les nombres :

\frac{8}{4} = 2

= - 2

u = \frac{- ( - 3 ) - 5}{2 ( - 2 )} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 3 ) - 5}{2 ( - 2 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{3 - 5}{- 2 \cdot 2}

Soustraire les nombres :

3 - 5 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{- 4}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{4}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{1}{2}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - 2, u = \frac{1}{2}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = - 2, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = - 2, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = - 2 :

Aucune solution

cos (x) = - 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Aucune solution

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{1}{2}

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

2 tan (x) = 3 csc (x)

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

\frac{2 π}{3} + 2 πn :

Faux

\frac{2 π}{3} + 2 πn

Insérer

n = 1

\frac{2 π}{3} + 2 π 1

Pour

2 tan (x) = 3 csc (x)

insérer

x = \frac{2 π}{3} + 2 π 1

2 tan (\frac{2 π}{3} + 2 π 1) = 3 csc (\frac{2 π}{3} + 2 π 1)

Redéfinir

- 3.46410 \dots = 3.46410 \dots

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

\frac{4 π}{3} + 2 πn :

Faux

\frac{4 π}{3} + 2 πn

Insérer

n = 1

\frac{4 π}{3} + 2 π 1

Pour

2 tan (x) = 3 csc (x)

insérer

x = \frac{4 π}{3} + 2 π 1

2 tan (\frac{4 π}{3} + 2 π 1) = 3 csc (\frac{4 π}{3} + 2 π 1)

Redéfinir

3.46410 \dots = - 3.46410 \dots

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

\frac{π}{3} + 2 πn :

vrai

\frac{π}{3} + 2 πn

Insérer

n = 1

\frac{π}{3} + 2 π 1

Pour

2 tan (x) = 3 csc (x)

insérer

x = \frac{π}{3} + 2 π 1

2 tan (\frac{π}{3} + 2 π 1) = 3 csc (\frac{π}{3} + 2 π 1)

Redéfinir

3.46410 \dots = 3.46410 \dots

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

\frac{5 π}{3} + 2 πn :

vrai

\frac{5 π}{3} + 2 πn

Insérer

n = 1

\frac{5 π}{3} + 2 π 1

Pour

2 tan (x) = 3 csc (x)

insérer

x = \frac{5 π}{3} + 2 π 1

2 tan (\frac{5 π}{3} + 2 π 1) = 3 csc (\frac{5 π}{3} + 2 π 1)

Redéfinir

- 3.46410 \dots = - 3.46410 \dots

\Rightarrow vrai

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

tan(θ)+1=sqrt(3)+sqrt(3)cot(θ)

2-2cos^2(x)=2cos^2(x/2)

sin(x)+cos(x)=1.2,sin(2x)

2cos(x)+3tan(x)=3sec(x)

14tan^2(x)=-14tan(x)