English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Beliebt Trigonometrie >

beweisen (sec^2(x))/(sec^2(x)-1)=csc^2(x)

Lösung

beweisen

\frac{sec ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x ) - 1} = csc^{2} (x)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sec ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x ) - 1} = csc^{2} (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{sec ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x ) - 1}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{sec ^{2} ( x )}{- 1 + sec ^{2} ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{- 1 + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{- 1 + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}} : \frac{1}{- cos ^{2} ( x ) + 1}

\frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{- 1 + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{- 1 + \frac{1}{c o s ^{2} ( x )}}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{1}{c o s ^{2} ( x )}}{- 1 + \frac{1}{c o s ^{2} ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{1}{cos ^{2} ( x ) ( - 1 + \frac{1}{c o s ^{2} ( x )} )}

Füge

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= - \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1}{\frac{- c o s ^{2} ( x ) + 1}{c o s ^{2} ( x )} cos ^{2} ( x )}

Multipliziere

cos^{2} (x) \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )} : - cos^{2} (x) + 1

cos^{2} (x) \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - cos ^{2} ( x ) + 1 ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (x)

= - - cos^{2} (x) + 1

= \frac{1}{- cos ^{2} ( x ) + 1}

= \frac{1}{- cos ^{2} ( x ) + 1}

= \frac{1}{1 - cos ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1}{1 - cos ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( x )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{csc ( x )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( x )}

(\frac{1}{csc ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( x )}

= \frac{1}{\frac{1}{c s c ^{2} ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ^{2} ( x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= csc^{2} (x)

csc^{2} (x)

csc^{2} (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen cos(x+y)+cos(x-y)=2cos(x)cos(y)

p ro v e cos (x + y) + cos (x - y) = 2 cos (x) cos (y)

beweisen (tan^2(x)+1)(cos^2(x)-1)=-tan^2(x)

p ro v e (tan^{2} (x) + 1) (cos^{2} (x) - 1) = - tan^{2} (x)

beweisen csc(θ)cos(θ)=cot(θ)

p ro v e csc (θ) cos (θ) = cot (θ)

beweisen sec(x)= 1/(cos(x))

p ro v e sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

beweisen csc^2(x)-cot^2(x)=1

p ro v e csc^{2} (x) - cot^{2} (x) = 1