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beweisen (1-cos(2x))/(1+cos(2x))=tan^2(x)

Lösung

beweisen

\frac{1 - cos ( 2 x )}{1 + cos ( 2 x )} = tan^{2} (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1 - cos ( 2 x )}{1 + cos ( 2 x )} = tan^{2} (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{1 - cos ( 2 x )}{1 + cos ( 2 x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - cos ( 2 x )}{1 + cos ( 2 x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( x ) )}{1 + 1 - 2 sin ^{2} ( x )}

Vereinfache

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( x ) )}{1 + 1 - 2 sin ^{2} ( x )} : \frac{sin ^{2} ( x )}{- sin ^{2} ( x ) + 1}

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( x ) )}{1 + 1 - 2 sin ^{2} ( x )}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= \frac{1 - ( - 2 sin ^{2} ( x ) + 1 )}{- 2 sin ^{2} ( x ) + 2}

Multipliziere aus

1 - (1 - 2 sin^{2} (x)) : 2 sin^{2} (x)

1 - (1 - 2 sin^{2} (x))

- (1 - 2 sin^{2} (x)) : - 1 + 2 sin^{2} (x)

- (1 - 2 sin^{2} (x))

Setze Klammern

= - (1) - (- 2 sin^{2} (x))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (x)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (x)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (x)

= \frac{2 sin ^{2} ( x )}{- 2 sin ^{2} ( x ) + 2}

Faktorisiere

- 2 sin^{2} (x) + 2 : 2 (- sin^{2} (x) + 1)

- 2 sin^{2} (x) + 2

Schreibe um

= - 2 sin^{2} (x) + 2 \cdot 1

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- sin^{2} (x) + 1)

= \frac{2 sin ^{2} ( x )}{2 ( - sin ^{2} ( x ) + 1 )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{sin ^{2} ( x )}{( - sin ^{2} ( x ) + 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{sin ^{2} ( x )}{- sin ^{2} ( x ) + 1}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{- sin ^{2} ( x ) + 1}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

\frac{sin ( x ) tan ( x )}{cos ( x )}

= tan (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) tan (x)

Vereinfache

tan (x) tan (x) : tan^{2} (x)

tan (x) tan (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

tan (x) tan (x) = tan^{1 + 1} (x)

= tan^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= tan^{2} (x)

tan^{2} (x)

tan^{2} (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{1 - sin ( v )}{cos ( v )} + \frac{cos ( v )}{1 - sin ( v )} = 2 sec (v)

p ro v e 9 sec^{2} (θ) - 5 tan^{2} (θ) = 5 + 4 sec^{2} (θ)

p ro v e cot (2 θ) = cot (θ) - \frac{1}{2} sec (θ) csc (θ)

p ro v e tan (α) + cot (α) = sec (α) csc (α)

p ro v e (cos (x) - sin (x))^{2} = 1 - sin (2 x)