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Beliebt Trigonometrie >

beweisen cot^2(x)=cos^2(x)+(cot(x)cos(x))^2

Lösung

beweisen

cot^{2} (x) = cos^{2} (x) + (cot (x) cos (x))^{2}

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

cot^{2} (x) = cos^{2} (x) + (cot (x) cos (x))^{2}

Manipuliere die rechte Seite

cos^{2} (x) + (cot (x) cos (x))^{2}

Drücke mit sin, cos aus

(cos (x) cot (x))^{2} + cos^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} + cos^{2} (x)

Vereinfache

(cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} + cos^{2} (x) : \frac{cos ^{4} ( x ) + cos ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

(cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} + cos^{2} (x)

(cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} = \frac{cos ^{4} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

(cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}

Multipliziere

cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )} : \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( x ) cos ( x )}{sin ( x )}

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= (\frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) ) ^{2}}{sin ^{2} ( x )}

(cos^{2} (x))^{2} : cos^{4} (x)

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= cos^{2 \cdot 2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= cos^{4} (x)

= \frac{cos ^{4} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{4} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + cos^{2} (x)

Wandle das Element in einen Bruch um:

cos^{2} (x) = \frac{cos ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{4} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{cos ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{4} ( x ) + cos ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{4} ( x ) + cos ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{4} ( x ) + cos ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Faktorisiere

\frac{cos ^{4} ( x ) + cos ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} : \frac{cos ^{2} ( x ) ( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) )}{sin ^{2} ( x )}

\frac{cos ^{4} ( x ) + cos ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Faktorisiere

cos^{4} (x) + cos^{2} (x) sin^{2} (x) : cos^{2} (x) (cos^{2} (x) + sin^{2} (x))

cos^{4} (x) + cos^{2} (x) sin^{2} (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

cos^{4} (x) = cos^{2} (x) cos^{2} (x)

= cos^{2} (x) cos^{2} (x) + cos^{2} (x) sin^{2} (x)

Klammere gleiche Terme aus

cos^{2} (x)

= cos^{2} (x) (cos^{2} (x) + sin^{2} (x))

= \frac{cos ^{2} ( x ) ( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Vereinfache

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

\frac{cos ( x ) cot ( x )}{sin ( x )}

= cot (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

cot (x) cot (x)

Vereinfache

cot (x) cot (x) : cot^{2} (x)

cot (x) cot (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cot (x) cot (x) = cot^{1 + 1} (x)

= cot^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cot^{2} (x)

cot^{2} (x)

cot^{2} (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen sin(-x)+cos(-x)=-sin(x)+cos(x)

p ro v e sin (- x) + cos (- x) = - sin (x) + cos (x)

beweisen csc^2(x/2)= 2/(1-cos(x))

p ro v e csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{2}{1 - cos ( x )}

beweisen (tan^2(θ))/(sin^2(θ))-1=tan^2(θ)

p ro v e \frac{tan ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} - 1 = tan^{2} (θ)

beweisen csc(θ)cos^2(θ)+sin(θ)=csc(θ)

p ro v e csc (θ) cos^{2} (θ) + sin (θ) = csc (θ)

beweisen sec(θ+pi/2)=csc(θ)

p ro v e sec (θ + \frac{π}{2}) = csc (θ)