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beweisen (1-sin^2(a))(1+tan^2(a))=1

Lösung

beweisen

(1 - sin^{2} (a)) (1 + tan^{2} (a)) = 1

Wahr

Schritte zur Lösung

(1 - sin^{2} (a)) (1 + tan^{2} (a)) = 1

Manipuliere die linke Seite

(1 - sin^{2} (a)) (1 + tan^{2} (a))

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(1 - sin^{2} (a)) (1 + tan^{2} (a))

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= cos^{2} (a) (1 + tan^{2} (a))

= cos^{2} (a) (1 + tan^{2} (a))

Drücke mit sin, cos aus

(1 + tan^{2} (a)) cos^{2} (a)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (1 + (\frac{sin ( a )}{cos ( a )})^{2}) cos^{2} (a)

Vereinfache

(1 + (\frac{sin ( a )}{cos ( a )})^{2}) cos^{2} (a) : cos^{2} (a) + sin^{2} (a)

(1 + (\frac{sin ( a )}{cos ( a )})^{2}) cos^{2} (a)

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= cos^{2} (a) (\frac{sin ^{2} ( a )}{cos ^{2} ( a )} + 1)

Füge

1 + \frac{sin ^{2} ( a )}{cos ^{2} ( a )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( a ) + sin ^{2} ( a )}{cos ^{2} ( a )}

1 + \frac{sin ^{2} ( a )}{cos ^{2} ( a )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( a )}{cos ^{2} ( a )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( a )}{cos ^{2} ( a )} + \frac{sin ^{2} ( a )}{cos ^{2} ( a )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( a ) + sin ^{2} ( a )}{cos ^{2} ( a )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (a) = cos^{2} (a)

= \frac{cos ^{2} ( a ) + sin ^{2} ( a )}{cos ^{2} ( a )}

= \frac{cos ^{2} ( a ) + sin ^{2} ( a )}{cos ^{2} ( a )} cos^{2} (a)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ^{2} ( a ) + sin ^{2} ( a ) ) cos ^{2} ( a )}{cos ^{2} ( a )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (a)

= cos^{2} (a) + sin^{2} (a)

= cos^{2} (a) + sin^{2} (a)

= cos^{2} (a) + sin^{2} (a)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos^{2} (a) + sin^{2} (a)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= 1

= 1

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin^{2} (x) + sin^{2} (x) cot^{2} (x) = 1

p ro v e tan (x) = \frac{1}{cot ( x )}

p ro v e sin^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{sec ( θ ) - 1}{2 sec ( θ )}

p ro v e cot (t) csc (t) = \frac{csc ^{2} ( t ) - 1}{cos ( t )}

p ro v e \frac{1}{1 + sin ( t )} = (sec (t) - tan (t)) sec (t)