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Beliebt Trigonometrie >

beweisen cot(t)csc(t)=(csc^2(t)-1)/(cos(t))

Lösung

beweisen

cot (t) csc (t) = \frac{csc ^{2} ( t ) - 1}{cos ( t )}

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

cot (t) csc (t) = \frac{csc ^{2} ( t ) - 1}{cos ( t )}

Manipuliere die linke Seite

cot (t) csc (t)

Drücke mit sin, cos aus

cot (t) csc (t)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( t )}{sin ( t )} csc (t)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{cos ( t )}{sin ( t )} \cdot \frac{1}{sin ( t )}

Vereinfache

\frac{cos ( t )}{sin ( t )} \cdot \frac{1}{sin ( t )} : \frac{cos ( t )}{sin ^{2} ( t )}

\frac{cos ( t )}{sin ( t )} \cdot \frac{1}{sin ( t )}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{cos ( t ) \cdot 1}{sin ( t ) sin ( t )}

Multipliziere:

cos (t) \cdot 1 = cos (t)

= \frac{cos ( t )}{sin ( t ) sin ( t )}

sin (t) sin (t) = sin^{2} (t)

sin (t) sin (t)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (t) sin (t) = sin^{1 + 1} (t)

= sin^{1 + 1} (t)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (t)

= \frac{cos ( t )}{sin ^{2} ( t )}

= \frac{cos ( t )}{sin ^{2} ( t )}

= \frac{cos ( t )}{sin ^{2} ( t )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{csc ^{2} ( t ) - 1}{cos ( t )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{- 1 + csc ^{2} ( t )}{cos ( t )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{- 1 + ( \frac{1}{s i n ( t )} ) ^{2}}{cos ( t )}

Vereinfache

\frac{- 1 + ( \frac{1}{s i n ( t )} ) ^{2}}{cos ( t )} : \frac{- sin ^{2} ( t ) + 1}{sin ^{2} ( t ) cos ( t )}

\frac{- 1 + ( \frac{1}{s i n ( t )} ) ^{2}}{cos ( t )}

(\frac{1}{sin ( t )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( t )}

(\frac{1}{sin ( t )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( t )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( t )}

= \frac{- 1 + \frac{1}{s i n ^{2} ( t )}}{cos ( t )}

Füge

- 1 + \frac{1}{sin ^{2} ( t )}

zusammen:

\frac{- sin ^{2} ( t ) + 1}{sin ^{2} ( t )}

- 1 + \frac{1}{sin ^{2} ( t )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( t )}{sin ^{2} ( t )}

= - \frac{1 \cdot sin ^{2} ( t )}{sin ^{2} ( t )} + \frac{1}{sin ^{2} ( t )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot sin ^{2} ( t ) + 1}{sin ^{2} ( t )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (t) = sin^{2} (t)

= \frac{- sin ^{2} ( t ) + 1}{sin ^{2} ( t )}

= \frac{\frac{- s i n ^{2} ( t ) + 1}{s i n ^{2} ( t )}}{cos ( t )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{- sin ^{2} ( t ) + 1}{sin ^{2} ( t ) cos ( t )}

= \frac{- sin ^{2} ( t ) + 1}{sin ^{2} ( t ) cos ( t )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( t )}{cos ( t ) sin ^{2} ( t )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - sin ^{2} ( t )}{cos ( t ) sin ^{2} ( t )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( t )}{cos ( t ) sin ^{2} ( t )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (t)

= \frac{cos ( t )}{sin ^{2} ( t )}

= \frac{cos ( t )}{sin ^{2} ( t )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen 1/(1+sin(t))=(sec(t)-tan(t))sec(t)

p ro v e \frac{1}{1 + sin ( t )} = (sec (t) - tan (t)) sec (t)

beweisen sin(pi/3)=(sqrt(3))/2

p ro v e sin (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2}

beweisen cos(t)sec(pi/2-t)=cot(t)

p ro v e cos (t) sec (\frac{π}{2} - t) = cot (t)

beweisen ((1-cos(2x)))/(sin(2x))=tan(x)

p ro v e \frac{( 1 - cos ( 2 x ) )}{sin ( 2 x )} = tan (x)

beweisen cot^2(α)=cos^2(α)+(cot(α)cos(α))^2

p ro v e cot^{2} (α) = cos^{2} (α) + (cot (α) cos (α))^{2}