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beweisen cos(t)sec(pi/2-t)=cot(t)

Lösung

beweisen

cos (t) sec (\frac{π}{2} - t) = cot (t)

Wahr

Schritte zur Lösung

cos (t) sec (\frac{π}{2} - t) = cot (t)

Manipuliere die linke Seite

cos (t) sec (\frac{π}{2} - t)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sec (\frac{π}{2} - t)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( \frac{π}{2} - t )}

Benutze die Winkel-Differenz-Identität:

cos (s - t) = cos (s) cos (t) + sin (s) sin (t)

= \frac{1}{cos ( \frac{π}{2} ) cos ( t ) + sin ( \frac{π}{2} ) sin ( t )}

Vereinfache

\frac{1}{cos ( \frac{π}{2} ) cos ( t ) + sin ( \frac{π}{2} ) sin ( t )} : \frac{1}{sin ( t )}

\frac{1}{cos ( \frac{π}{2} ) cos ( t ) + sin ( \frac{π}{2} ) sin ( t )}

cos (\frac{π}{2}) cos (t) + sin (\frac{π}{2}) sin (t) = sin (t)

cos (\frac{π}{2}) cos (t) + sin (\frac{π}{2}) sin (t)

cos (\frac{π}{2}) cos (t) = 0

cos (\frac{π}{2}) cos (t)

Vereinfache

cos (\frac{π}{2}) : 0

cos (\frac{π}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{2}) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 0

= 0 \cdot cos (t)

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

sin (\frac{π}{2}) sin (t) = sin (t)

sin (\frac{π}{2}) sin (t)

Vereinfache

sin (\frac{π}{2}) : 1

sin (\frac{π}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{2}) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= 1

= 1 \cdot sin (t)

Multipliziere:

1 \cdot sin (t) = sin (t)

= sin (t)

= 0 + sin (t)

0 + sin (t) = sin (t)

= sin (t)

= \frac{1}{sin ( t )}

= \frac{1}{sin ( t )}

= cos (t) \frac{1}{sin ( t )}

Vereinfache

cos (t) \frac{1}{sin ( t )} : \frac{cos ( t )}{sin ( t )}

cos (t) \frac{1}{sin ( t )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( t )}{sin ( t )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (t) = cos (t)

= \frac{cos ( t )}{sin ( t )}

= \frac{cos ( t )}{sin ( t )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= cot (t)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{( 1 - cos ( 2 x ) )}{sin ( 2 x )} = tan (x)

p ro v e cot^{2} (α) = cos^{2} (α) + (cot (α) cos (α))^{2}

p ro v e cos^{4} (β) - sin^{4} (β) = 2 cos^{2} (β) - 1

p ro v e (1 - sin^{2} (x)) \cdot csc^{2} (x) = cot^{2} (x)

p ro v e cot^{2} (θ) - cos^{2} (θ) = cot^{2} (θ) cos^{2} (θ)