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beweisen cot^2(θ)-cos^2(θ)=cot^2(θ)cos^2(θ)

Lösung

beweisen

cot^{2} (θ) - cos^{2} (θ) = cot^{2} (θ) cos^{2} (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

cot^{2} (θ) - cos^{2} (θ) = cot^{2} (θ) cos^{2} (θ)

Manipuliere die linke Seite

cot^{2} (θ) - cos^{2} (θ)

Drücke mit sin, cos aus

- cos^{2} (θ) + cot^{2} (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= - cos^{2} (θ) + (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2}

Vereinfache

- cos^{2} (θ) + (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2} : \frac{- cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

- cos^{2} (θ) + (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= - cos^{2} (θ) + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

cos^{2} (θ) = \frac{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= - \frac{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) - cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Faktorisiere

\frac{cos ^{2} ( θ ) - cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} : \frac{cos ^{2} ( θ ) ( 1 - sin ^{2} ( θ ) )}{sin ^{2} ( θ )}

\frac{cos ^{2} ( θ ) - cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Faktorisiere

cos^{2} (θ) - cos^{2} (θ) sin^{2} (θ) : cos^{2} (θ) (1 - sin^{2} (θ))

cos^{2} (θ) - cos^{2} (θ) sin^{2} (θ)

Klammere gleiche Terme aus

cos^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) (1 - sin^{2} (θ))

= \frac{cos ^{2} ( θ ) ( - sin ^{2} ( θ ) + 1 )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{( 1 - sin ^{2} ( θ ) ) cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{( 1 - sin ^{2} ( θ ) ) cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

cos^{2} (θ) cos^{2} (θ) = cos^{4} (θ)

cos^{2} (θ) cos^{2} (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (θ) cos^{2} (θ) = cos^{2 + 2} (θ)

= cos^{2 + 2} (θ)

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= cos^{4} (θ)

= \frac{cos ^{4} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{4} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{cos ^{3} ( θ )}{sin ( θ )} \cdot \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

\frac{cos ^{3} ( θ ) cot ( θ )}{sin ( θ )}

= cos^{2} (θ) cot (θ) \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

cos^{2} (θ) cot (θ) cot (θ)

Vereinfache

cos^{2} (θ) cot (θ) cot (θ) : cos^{2} (θ) cot^{2} (θ)

cos^{2} (θ) cot (θ) cot (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cot (θ) cot (θ) = cot^{1 + 1} (θ)

= cos^{2} (θ) cot^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (θ) cot^{2} (θ)

cos^{2} (θ) cot^{2} (θ)

cos^{2} (θ) cot^{2} (θ)

= cot^{2} (θ) cos^{2} (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{sin ^{2} ( - x )}{tan ^{2} ( x )} = cos^{2} (x)

p ro v e sin (x) cos (x) + sin^{3} (x) sec (x) = tan (x)

p ro v e - tan (θ) cos (θ) = sin (- θ)

p ro v e sec (t) - \frac{cos ( t )}{1 + sin ( t )} = tan (t)

p ro v e sin^{2} (x) csc^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)