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beweisen sin(x)cos(x)+sin^3(x)sec(x)=tan(x)

Lösung

beweisen

sin (x) cos (x) + sin^{3} (x) sec (x) = tan (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

sin (x) cos (x) + sin^{3} (x) sec (x) = tan (x)

Manipuliere die linke Seite

sin (x) cos (x) + sin^{3} (x) sec (x)

Drücke mit sin, cos aus

cos (x) sin (x) + sec (x) sin^{3} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= cos (x) sin (x) + \frac{1}{cos ( x )} sin^{3} (x)

Vereinfache

cos (x) sin (x) + \frac{1}{cos ( x )} sin^{3} (x) : \frac{cos ^{2} ( x ) sin ( x ) + sin ^{3} ( x )}{cos ( x )}

cos (x) sin (x) + \frac{1}{cos ( x )} sin^{3} (x)

\frac{1}{cos ( x )} sin^{3} (x) = \frac{sin ^{3} ( x )}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} sin^{3} (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{3} ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{3} (x) = sin^{3} (x)

= \frac{sin ^{3} ( x )}{cos ( x )}

= cos (x) sin (x) + \frac{sin ^{3} ( x )}{cos ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

cos (x) sin (x) = \frac{cos ( x ) sin ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( x ) sin ( x ) cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{sin ^{3} ( x )}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( x ) sin ( x ) cos ( x ) + sin ^{3} ( x )}{cos ( x )}

cos (x) sin (x) cos (x) + sin^{3} (x) = cos^{2} (x) sin (x) + sin^{3} (x)

cos (x) sin (x) cos (x) + sin^{3} (x)

cos (x) sin (x) cos (x) = cos^{2} (x) sin (x)

cos (x) sin (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= sin (x) cos^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin (x) cos^{2} (x)

= cos^{2} (x) sin (x) + sin^{3} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) sin ( x ) + sin ^{3} ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) sin ( x ) + sin ^{3} ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ^{3} ( x ) + cos ^{2} ( x ) sin ( x )}{cos ( x )}

Faktorisiere

\frac{sin ^{3} ( x ) + cos ^{2} ( x ) sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{sin ( x ) ( sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x ) )}{cos ( x )}

\frac{sin ^{3} ( x ) + cos ^{2} ( x ) sin ( x )}{cos ( x )}

Faktorisiere

sin^{3} (x) + cos^{2} (x) sin (x) : sin (x) (sin^{2} (x) + cos^{2} (x))

sin^{3} (x) + cos^{2} (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{3} (x) = sin (x) sin^{2} (x)

= sin (x) sin^{2} (x) + cos^{2} (x) sin (x)

Klammere gleiche Terme aus

sin (x)

= sin (x) (sin^{2} (x) + cos^{2} (x))

= \frac{sin ( x ) ( sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x ) )}{cos ( x )}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) sin ( x )}{cos ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) sin ( x )}{cos ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{cos ( x )}

Vereinfache

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= tan (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e - tan (θ) cos (θ) = sin (- θ)

p ro v e sec (t) - \frac{cos ( t )}{1 + sin ( t )} = tan (t)

p ro v e sin^{2} (x) csc^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

p ro v e (sec (u) - tan (u)) (csc (u) + 1) = cot (u)

p ro v e sin (x) = cos (x - \frac{π}{2})