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Beliebt Trigonometrie >

beweisen sec(2x)=(sec^2(x))/(1-tan^2(x))

Lösung

beweisen

sec (2 x) = \frac{sec ^{2} ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

sec (2 x) = \frac{sec ^{2} ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{sec ^{2} ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{sec ^{2} ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{1 - tan ^{2} ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{1 - ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{1 - ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}} : \frac{1}{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}

\frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{1 - ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{1 - \frac{s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )}}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{1}{c o s ^{2} ( x )}}{1 - \frac{s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{1}{cos ^{2} ( x ) ( 1 - \frac{s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )} )}

Füge

1 - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

1 - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1}{\frac{c o s ^{2} ( x ) - s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )} cos ^{2} ( x )}

Multipliziere

cos^{2} (x) \frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} : cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

cos^{2} (x) \frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (x)

= cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= \frac{1}{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1}{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= \frac{1}{cos ( 2 x )}

= \frac{1}{cos ( 2 x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( 2 x )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( 2 x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( 2 x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec (2 x)

sec (2 x)

sec (2 x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen (sin(3x)-sin(5x))/(2cos(4x))=-sin(x)

p ro v e \frac{sin ( 3 x ) - sin ( 5 x )}{2 cos ( 4 x )} = - sin (x)

beweisen tan(a)+cot(a)=2csc(2a)

p ro v e tan (a) + cot (a) = 2 csc (2 a)

beweisen (sec(t)-1)/(tan(t))=(tan(t))/(sec(t)+1)

p ro v e \frac{sec ( t ) - 1}{tan ( t )} = \frac{tan ( t )}{sec ( t ) + 1}

beweisen 3cos^2(x)-3sin^2(x)=3-6sin^2(x)

p ro v e 3 cos^{2} (x) - 3 sin^{2} (x) = 3 - 6 sin^{2} (x)

beweisen sec^4(x)= 1/(cos^4(x))

p ro v e sec^{4} (x) = \frac{1}{cos ^{4} ( x )}