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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (sec(t)-1)/(tan(t))=(tan(t))/(sec(t)+1)

Lösung

beweisen

\frac{sec ( t ) - 1}{tan ( t )} = \frac{tan ( t )}{sec ( t ) + 1}

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sec ( t ) - 1}{tan ( t )} = \frac{tan ( t )}{sec ( t ) + 1}

Manipuliere die linke Seite

\frac{sec ( t ) - 1}{tan ( t )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{- 1 + sec ( t )}{tan ( t )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{- 1 + \frac{1}{c o s ( t )}}{tan ( t )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{- 1 + \frac{1}{c o s ( t )}}{\frac{s i n ( t )}{c o s ( t )}}

Vereinfache

\frac{- 1 + \frac{1}{c o s ( t )}}{\frac{s i n ( t )}{c o s ( t )}} : \frac{- cos ( t ) + 1}{sin ( t )}

\frac{- 1 + \frac{1}{c o s ( t )}}{\frac{s i n ( t )}{c o s ( t )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( - 1 + \frac{1}{c o s ( t )} ) cos ( t )}{sin ( t )}

Füge

- 1 + \frac{1}{cos ( t )}

zusammen:

\frac{- cos ( t ) + 1}{cos ( t )}

- 1 + \frac{1}{cos ( t )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( t )}{cos ( t )}

= - \frac{1 \cdot cos ( t )}{cos ( t )} + \frac{1}{cos ( t )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ( t ) + 1}{cos ( t )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (t) = cos (t)

= \frac{- cos ( t ) + 1}{cos ( t )}

= \frac{\frac{- c o s ( t ) + 1}{c o s ( t )} cos ( t )}{sin ( t )}

Multipliziere

\frac{- cos ( t ) + 1}{cos ( t )} cos (t) : - cos (t) + 1

\frac{- cos ( t ) + 1}{cos ( t )} cos (t)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - cos ( t ) + 1 ) cos ( t )}{cos ( t )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (t)

= - - cos (t) + 1

= \frac{- cos ( t ) + 1}{sin ( t )}

= \frac{- cos ( t ) + 1}{sin ( t )}

= \frac{1 - cos ( t )}{sin ( t )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Multipliziere mit

\frac{1 + cos ( t )}{1 + cos ( t )}

= \frac{( 1 + cos ( t ) ) ( 1 - cos ( t ) )}{( 1 + cos ( t ) ) sin ( t )}

Multipliziere aus

(1 + cos (t)) (1 - cos (t)) : 1 - cos^{2} (t)

(1 + cos (t)) (1 - cos (t))

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = cos (t)

= 1^{2} - cos^{2} (t)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - cos^{2} (t)

= \frac{1 - cos ^{2} ( t )}{( 1 + cos ( t ) ) sin ( t )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (t) + sin^{2} (t)

1 - cos^{2} (t) = sin^{2} (t)

= \frac{sin ^{2} ( t )}{( 1 + cos ( t ) ) sin ( t )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (t)

= \frac{sin ( t )}{1 + cos ( t )}

= \frac{sin ( t )}{1 + cos ( t )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{tan ( t )}{sec ( t ) + 1}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{tan ( t )}{1 + sec ( t )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{\frac{s i n ( t )}{c o s ( t )}}{1 + sec ( t )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{\frac{s i n ( t )}{c o s ( t )}}{1 + \frac{1}{c o s ( t )}}

Vereinfache

\frac{\frac{s i n ( t )}{c o s ( t )}}{1 + \frac{1}{c o s ( t )}} : \frac{sin ( t )}{cos ( t ) + 1}

\frac{\frac{s i n ( t )}{c o s ( t )}}{1 + \frac{1}{c o s ( t )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{sin ( t )}{cos ( t ) ( 1 + \frac{1}{c o s ( t )} )}

Füge

1 + \frac{1}{cos ( t )}

zusammen:

\frac{cos ( t ) + 1}{cos ( t )}

1 + \frac{1}{cos ( t )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( t )}{cos ( t )}

= \frac{1 \cdot cos ( t )}{cos ( t )} + \frac{1}{cos ( t )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( t ) + 1}{cos ( t )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (t) = cos (t)

= \frac{cos ( t ) + 1}{cos ( t )}

= \frac{sin ( t )}{\frac{c o s ( t ) + 1}{c o s ( t )} cos ( t )}

Multipliziere

cos (t) \frac{cos ( t ) + 1}{cos ( t )} : cos (t) + 1

cos (t) \frac{cos ( t ) + 1}{cos ( t )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ( t ) + 1 ) cos ( t )}{cos ( t )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (t)

= cos (t) + 1

= \frac{sin ( t )}{cos ( t ) + 1}

= \frac{sin ( t )}{cos ( t ) + 1}

= \frac{sin ( t )}{1 + cos ( t )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen 3cos^2(x)-3sin^2(x)=3-6sin^2(x)

p ro v e 3 cos^{2} (x) - 3 sin^{2} (x) = 3 - 6 sin^{2} (x)

beweisen sec^4(x)= 1/(cos^4(x))

p ro v e sec^{4} (x) = \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

beweisen 1/(tan(x))=cot(x)

p ro v e \frac{1}{tan ( x )} = cot (x)

beweisen cos(θ)+cos(θ)tan^2(θ)=sec(θ)

p ro v e cos (θ) + cos (θ) tan^{2} (θ) = sec (θ)

beweisen 2cos^2(x)=1+cos(2x)

p ro v e 2 cos^{2} (x) = 1 + cos (2 x)