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beweisen cos(θ)+cos(θ)tan^2(θ)=sec(θ)

Lösung

beweisen

cos (θ) + cos (θ) tan^{2} (θ) = sec (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

cos (θ) + cos (θ) tan^{2} (θ) = sec (θ)

Manipuliere die linke Seite

cos (θ) + cos (θ) tan^{2} (θ)

Drücke mit sin, cos aus

cos (θ) + cos (θ) tan^{2} (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= cos (θ) + cos (θ) (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}

Vereinfache

cos (θ) + cos (θ) (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2} : \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

cos (θ) + cos (θ) (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}

cos (θ) (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

cos (θ) (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}

(\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} cos (θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ^{2} ( θ ) cos ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (θ)

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

= cos (θ) + \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

cos (θ) = \frac{cos ( θ ) cos ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) cos ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) cos ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

cos (θ) cos (θ) + sin^{2} (θ) = cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ)

cos (θ) cos (θ) + sin^{2} (θ)

cos (θ) cos (θ) = cos^{2} (θ)

cos (θ) cos (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (θ) cos (θ) = cos^{1 + 1} (θ)

= cos^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{cos ( θ )}

= \frac{1}{cos ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( θ )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( θ )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec (θ)

sec (θ)

sec (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 2 cos^{2} (x) = 1 + cos (2 x)

p ro v e \frac{( tan ^{2} ( x ) )}{sec ( x )} = sin (x) tan (x)

p ro v e cos (x) (1 + tan (x))^{2} = sec (x) + 2 sin (x)

p ro v e cos (x) cot (x) = \frac{1}{sin ( x )} - sin (x)

p ro v e tan (θ) = \frac{sec ( θ )}{csc ( θ )}