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Beliebt Trigonometrie >

beweisen cos(x)(1+tan(x))^2=sec(x)+2sin(x)

Lösung

beweisen

cos (x) (1 + tan (x))^{2} = sec (x) + 2 sin (x)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

cos (x) (1 + tan (x))^{2} = sec (x) + 2 sin (x)

Manipuliere die linke Seite

cos (x) (1 + tan (x))^{2}

Drücke mit sin, cos aus

(1 + tan (x))^{2} cos (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} cos (x)

Vereinfache

(1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} cos (x) : \frac{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ^{2}}{cos ( x )}

(1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} cos (x)

(1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} = \frac{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

(1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Füge

1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

zusammen:

\frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

= (\frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ^{2}}{cos ^{2} ( x )} cos (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ^{2} cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (x)

= \frac{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ^{2}}{cos ( x )}

= \frac{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ^{2}}{cos ( x )}

= \frac{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ^{2}}{cos ( x )}

Multipliziere aus

(cos (x) + sin (x))^{2} : cos^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x) + sin^{2} (x)

(cos (x) + sin (x))^{2}

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = cos (x), b = sin (x)

= cos^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x) + sin^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) + 2 cos ( x ) sin ( x )}{cos ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) + 2 cos ( x ) sin ( x )}{cos ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1 + 2 cos ( x ) sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 + 2 cos ( x ) sin ( x )}{cos ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1 + 2 \cdot \frac{1}{s e c ( x )} sin ( x )}{\frac{1}{s e c ( x )}}

Vereinfache

\frac{1 + 2 \cdot \frac{1}{s e c ( x )} sin ( x )}{\frac{1}{s e c ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 1 + 2 \cdot \frac{1}{s e c ( x )} sin ( x ) ) sec ( x )}{1}

2 \cdot \frac{1}{sec ( x )} sin (x) = \frac{2 sin ( x )}{sec ( x )}

2 \cdot \frac{1}{sec ( x )} sin (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 sin ( x )}{sec ( x )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2 sin ( x )}{sec ( x )}

= \frac{sec ( x ) ( \frac{2 s i n ( x )}{s e c ( x )} + 1 )}{1}

Füge

1 + \frac{2 sin ( x )}{sec ( x )}

zusammen:

\frac{sec ( x ) + 2 sin ( x )}{sec ( x )}

1 + \frac{2 sin ( x )}{sec ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sec ( x )}{sec ( x )}

= \frac{1 \cdot sec ( x )}{sec ( x )} + \frac{2 sin ( x )}{sec ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sec ( x ) + 2 sin ( x )}{sec ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sec (x) = sec (x)

= \frac{sec ( x ) + 2 sin ( x )}{sec ( x )}

= \frac{\frac{s e c ( x ) + 2 s i n ( x )}{s e c ( x )} sec ( x )}{1}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{1} = a

= \frac{sec ( x ) + 2 sin ( x )}{sec ( x )} sec (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( sec ( x ) + 2 sin ( x ) ) sec ( x )}{sec ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sec (x)

= sec (x) + 2 sin (x)

sec (x) + 2 sin (x)

sec (x) + 2 sin (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen cos(x)cot(x)= 1/(sin(x))-sin(x)

p ro v e cos (x) cot (x) = \frac{1}{sin ( x )} - sin (x)

beweisen tan(θ)=(sec(θ))/(csc(θ))

p ro v e tan (θ) = \frac{sec ( θ )}{csc ( θ )}

beweisen cos(3β)=cos(β)(cos^2(β)-3sin^2(β))

p ro v e cos (3 β) = cos (β) (cos^{2} (β) - 3 sin^{2} (β))

beweisen sec^2(θ)cot^2(θ)-1=cot^2(θ)

p ro v e sec^{2} (θ) cot^{2} (θ) - 1 = cot^{2} (θ)

beweisen cos(2A)=2cos^2(A)-1

p ro v e cos (2 A) = 2 cos^{2} (A) - 1