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beweisen cos(2A)=2cos^2(A)-1

Lösung

beweisen

cos (2 A) = 2 cos^{2} (A) - 1

Wahr

Schritte zur Lösung

cos (2 A) = 2 cos^{2} (A) - 1

Manipuliere die linke Seite

cos (2 A)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (2 A)

Schreibe um

= cos (A + A)

Benutze die Identität der Winkelsumme:

cos (s + s) = cos (s) cos (s) - sin (s) sin (s)

= cos (A) cos (A) - sin (A) sin (A)

Vereinfache

cos (A) cos (A) - sin (A) sin (A) : cos^{2} (A) - sin^{2} (A)

cos (A) cos (A) - sin (A) sin (A)

cos (A) cos (A) = cos^{2} (A)

cos (A) cos (A)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (A) cos (A) = cos^{1 + 1} (A)

= cos^{1 + 1} (A)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (A)

sin (A) sin (A) = sin^{2} (A)

sin (A) sin (A)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (A) sin (A) = sin^{1 + 1} (A)

= sin^{1 + 1} (A)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (A)

= cos^{2} (A) - sin^{2} (A)

= cos^{2} (A) - sin^{2} (A)

= cos^{2} (A) - sin^{2} (A)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (A) + sin^{2} (A) = 1

sin^{2} (A) = 1 - cos^{2} (A)

= cos^{2} (A) - (1 - cos^{2} (A))

Vereinfache

cos^{2} (A) - (1 - cos^{2} (A)) : 2 cos^{2} (A) - 1

cos^{2} (A) - (1 - cos^{2} (A))

- (1 - cos^{2} (A)) : - 1 + cos^{2} (A)

- (1 - cos^{2} (A))

Setze Klammern

= - 1 - (- cos^{2} (A))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (A)

= cos^{2} (A) - 1 + cos^{2} (A)

Vereinfache

cos^{2} (A) - 1 + cos^{2} (A) : 2 cos^{2} (A) - 1

cos^{2} (A) - 1 + cos^{2} (A)

Fasse gleiche Terme zusammen

= cos^{2} (A) + cos^{2} (A) - 1

Addiere gleiche Elemente:

cos^{2} (A) + cos^{2} (A) = 2 cos^{2} (A)

= 2 cos^{2} (A) - 1

= 2 cos^{2} (A) - 1

= 2 cos^{2} (A) - 1

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 2 sin^{2} (3 x) = 1 - cos (6 x)

p ro v e cos (\frac{π}{2} + y) = - sin (y)

p ro v e cos (3 x) - cos (x) = 4 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

p ro v e tan (8 x) - tan (8 x) tan^{2} (4 x) = 2 tan (4 x)

p ro v e \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) + 1} = 1 - cos (x)