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受欢迎的三角函数 >

证明 cos(3θ)=cos^3(θ)-3sin^2(θ)cos(θ)

解答

证明

cos (3 θ) = cos^{3} (θ) - 3 sin^{2} (θ) cos (θ)

解答

真

求解步骤

cos (3 θ) = cos^{3} (θ) - 3 sin^{2} (θ) cos (θ)

调整左侧

cos (3 θ)

使用三角恒等式改写

cos (3 θ)

改写为

= cos (2 θ + θ)

使用角和恒等式:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (2 θ) cos (θ) - sin (2 θ) sin (θ)

使用倍角公式:

sin (2 θ) = 2 sin (θ) cos (θ)

= cos (2 θ) cos (θ) - 2 sin (θ) cos (θ) sin (θ)

化简

cos (2 θ) cos (θ) - 2 sin (θ) cos (θ) sin (θ) : cos (θ) cos (2 θ) - 2 sin^{2} (θ) cos (θ)

cos (2 θ) cos (θ) - 2 sin (θ) cos (θ) sin (θ)

2 sin (θ) cos (θ) sin (θ) = 2 sin^{2} (θ) cos (θ)

2 sin (θ) cos (θ) sin (θ)

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= 2 cos (θ) sin^{1 + 1} (θ)

数字相加:

1 + 1 = 2

= 2 cos (θ) sin^{2} (θ)

= cos (θ) cos (2 θ) - 2 sin^{2} (θ) cos (θ)

= cos (θ) cos (2 θ) - 2 sin^{2} (θ) cos (θ)

= cos (θ) cos (2 θ) - 2 sin^{2} (θ) cos (θ)

使用倍角公式:

cos (2 θ) = cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)

= (cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)) cos (θ) - 2 sin^{2} (θ) cos (θ)

乘开

(cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)) cos (θ) - 2 sin^{2} (θ) cos (θ) : cos^{3} (θ) - 3 sin^{2} (θ) cos (θ)

(cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)) cos (θ) - 2 sin^{2} (θ) cos (θ)

= cos (θ) (cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)) - 2 sin^{2} (θ) cos (θ)

乘开

cos (θ) (cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)) : cos^{3} (θ) - sin^{2} (θ) cos (θ)

cos (θ) (cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ))

使用分配律:

a (b - c) = ab - a c

a = cos (θ), b = cos^{2} (θ), c = sin^{2} (θ)

= cos (θ) cos^{2} (θ) - cos (θ) sin^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) cos (θ) - sin^{2} (θ) cos (θ)

cos^{2} (θ) cos (θ) = cos^{3} (θ)

cos^{2} (θ) cos (θ)

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (θ) cos (θ) = cos^{2 + 1} (θ)

= cos^{2 + 1} (θ)

数字相加:

2 + 1 = 3

= cos^{3} (θ)

= cos^{3} (θ) - sin^{2} (θ) cos (θ)

= cos^{3} (θ) - sin^{2} (θ) cos (θ) - 2 sin^{2} (θ) cos (θ)

同类项相加:

- sin^{2} (θ) cos (θ) - 2 sin^{2} (θ) cos (θ) = - 3 sin^{2} (θ) cos (θ)

= cos^{3} (θ) - 3 sin^{2} (θ) cos (θ)

= cos^{3} (θ) - 3 sin^{2} (θ) cos (θ)

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 cos^2(B)-sin^2(B)=2cos^2(B)-1

p ro v e cos^{2} (B) - sin^{2} (B) = 2 cos^{2} (B) - 1

证明 csc^2(x)cos^2(x)= 1/(tan^2(x))

p ro v e csc^{2} (x) cos^{2} (x) = \frac{1}{tan ^{2} ( x )}

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p ro v e 1 + tan^{2} (t) = sec^{2} (t)

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p ro v e cos (4 x) = 2 cos^{2} (2 x) - 1

证明 sin(x)sec(x)= 1/(cos(x)csc(x))

p ro v e sin (x) sec (x) = \frac{1}{cos ( x ) csc ( x )}