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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (cos^2(A))/(cos(A)-sin(A))+(sin(A))/(1-cot(A))=sin(A)+cos(A)

Lösung

beweisen

\frac{cos ^{2} ( A )}{cos ( A ) - sin ( A )} + \frac{sin ( A )}{1 - cot ( A )} = sin (A) + cos (A)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{cos ^{2} ( A )}{cos ( A ) - sin ( A )} + \frac{sin ( A )}{1 - cot ( A )} = sin (A) + cos (A)

Manipuliere die linke Seite

\frac{cos ^{2} ( A )}{cos ( A ) - sin ( A )} + \frac{sin ( A )}{1 - cot ( A )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{cos ^{2} ( A )}{cos ( A ) - sin ( A )} + \frac{sin ( A )}{1 - cot ( A )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( A )}{cos ( A ) - sin ( A )} + \frac{sin ( A )}{1 - \frac{c o s ( A )}{s i n ( A )}}

Vereinfache

\frac{cos ^{2} ( A )}{cos ( A ) - sin ( A )} + \frac{sin ( A )}{1 - \frac{c o s ( A )}{s i n ( A )}} : sin (A) + cos (A)

\frac{cos ^{2} ( A )}{cos ( A ) - sin ( A )} + \frac{sin ( A )}{1 - \frac{c o s ( A )}{s i n ( A )}}

\frac{sin ( A )}{1 - \frac{c o s ( A )}{s i n ( A )}} = \frac{sin ^{2} ( A )}{sin ( A ) - cos ( A )}

\frac{sin ( A )}{1 - \frac{c o s ( A )}{s i n ( A )}}

Füge

1 - \frac{cos ( A )}{sin ( A )}

zusammen:

\frac{sin ( A ) - cos ( A )}{sin ( A )}

1 - \frac{cos ( A )}{sin ( A )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ( A )}{sin ( A )}

= \frac{1 \cdot sin ( A )}{sin ( A )} - \frac{cos ( A )}{sin ( A )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( A ) - cos ( A )}{sin ( A )}

Multipliziere:

1 \cdot sin (A) = sin (A)

= \frac{sin ( A ) - cos ( A )}{sin ( A )}

= \frac{sin ( A )}{\frac{s i n ( A ) - c o s ( A )}{s i n ( A )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{sin ( A ) sin ( A )}{sin ( A ) - cos ( A )}

sin (A) sin (A) = sin^{2} (A)

sin (A) sin (A)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (A) sin (A) = sin^{1 + 1} (A)

= sin^{1 + 1} (A)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (A)

= \frac{sin ^{2} ( A )}{sin ( A ) - cos ( A )}

= \frac{cos ^{2} ( A )}{cos ( A ) - sin ( A )} + \frac{sin ^{2} ( A )}{sin ( A ) - cos ( A )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

cos (A) - sin (A), sin (A) - cos (A) : - (cos (A) - sin (A))

cos (A) - sin (A), sin (A) - cos (A)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

sin (A) - cos (A) = - (cos (A) - sin (A))

= cos (A) - sin (A), - (cos (A) - sin (A))

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

cos (A) - sin (A)

oder

sin (A) - cos (A)

auftauchen.

= - (cos (A) - sin (A))

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

- (cos (A) - sin (A))

Für

\frac{cos ^{2} ( A )}{cos ( A ) - sin ( A )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

- 1

\frac{cos ^{2} ( A )}{cos ( A ) - sin ( A )} = \frac{cos ^{2} ( A ) ( - 1 )}{( cos ( A ) - sin ( A ) ) ( - 1 )} = \frac{- cos ^{2} ( A )}{- ( cos ( A ) - sin ( A ) )}

= \frac{- cos ^{2} ( A )}{- ( cos ( A ) - sin ( A ) )} + \frac{sin ^{2} ( A )}{- ( cos ( A ) - sin ( A ) )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ^{2} ( A ) + sin ^{2} ( A )}{- ( cos ( A ) - sin ( A ) )}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- cos ^{2} ( A ) + sin ^{2} ( A )}{( cos ( A ) - sin ( A ) )}

Streiche

\frac{- cos ^{2} ( A ) + sin ^{2} ( A )}{( cos ( A ) - sin ( A ) )} : - sin (A) - cos (A)

\frac{- cos ^{2} ( A ) + sin ^{2} ( A )}{( cos ( A ) - sin ( A ) )}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (A) - cos^{2} (A) = (sin (A) + cos (A)) (sin (A) - cos (A))

= \frac{( sin ( A ) + cos ( A ) ) ( sin ( A ) - cos ( A ) )}{( cos ( A ) - sin ( A ) )}

Streiche

\frac{( sin ( A ) + cos ( A ) ) ( sin ( A ) - cos ( A ) )}{( cos ( A ) - sin ( A ) )} : - (sin (A) + cos (A))

\frac{( sin ( A ) + cos ( A ) ) ( sin ( A ) - cos ( A ) )}{( cos ( A ) - sin ( A ) )}

cos (A) - sin (A) = - (sin (A) - cos (A))

= \frac{( sin ( A ) + cos ( A ) ) ( sin ( A ) - cos ( A ) )}{- ( sin ( A ) - cos ( A ) )}

Fasse zusammen

= - \frac{( sin ( A ) + cos ( A ) ) ( sin ( A ) - cos ( A ) )}{sin ( A ) - cos ( A )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (A) - cos (A)

= - (sin (A) + cos (A))

= - (sin (A) + cos (A))

Negiere die Vorzeichen

- (sin (A) + cos (A)) = - sin (A) - cos (A)

= - sin (A) - cos (A)

= - (- sin (A) - cos (A))

Setze Klammern

= - (- sin (A)) - (- cos (A))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= sin (A) + cos (A)

= sin (A) + cos (A)

= cos (A) + sin (A)

= sin (A) + cos (A)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen cos(x-pi/6)-sin(x+pi/3)=0

p ro v e cos (x - \frac{π}{6}) - sin (x + \frac{π}{3}) = 0

beweisen cot^2(α)+1= 1/(sin^2(α))

p ro v e cot^{2} (α) + 1 = \frac{1}{sin ^{2} ( α )}

beweisen sin(3x)=3sin(x)cos^2(x)-sin^3(x)

p ro v e sin (3 x) = 3 sin (x) cos^{2} (x) - sin^{3} (x)

beweisen (cos(3x)-cos(5x))/(sin(3x)+sin(5x))=tan(x)

p ro v e \frac{cos ( 3 x ) - cos ( 5 x )}{sin ( 3 x ) + sin ( 5 x )} = tan (x)

beweisen cos^2(x)= 1/2+1/2 cos(2x)

p ro v e cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (2 x)