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beweisen cot^2(α)+1= 1/(sin^2(α))

Lösung

beweisen

cot^{2} (α) + 1 = \frac{1}{sin ^{2} ( α )}

Wahr

Schritte zur Lösung

cot^{2} (α) + 1 = \frac{1}{sin ^{2} ( α )}

Manipuliere die linke Seite

cot^{2} (α) + 1

Drücke mit sin, cos aus

1 + cot^{2} (α)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= 1 + (\frac{cos ( α )}{sin ( α )})^{2}

Vereinfache

1 + (\frac{cos ( α )}{sin ( α )})^{2} : \frac{sin ^{2} ( α ) + cos ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α )}

1 + (\frac{cos ( α )}{sin ( α )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= 1 + \frac{cos ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α )}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α )} + \frac{cos ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( α ) + cos ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (α) = sin^{2} (α)

= \frac{sin ^{2} ( α ) + cos ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α )}

= \frac{sin ^{2} ( α ) + cos ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α )}

= \frac{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( α )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( α )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin (3 x) = 3 sin (x) cos^{2} (x) - sin^{3} (x)

p ro v e \frac{cos ( 3 x ) - cos ( 5 x )}{sin ( 3 x ) + sin ( 5 x )} = tan (x)

p ro v e cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (2 x)

p ro v e tan (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( θ )}{sin ( θ )}

p ro v e \frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )} = csc (2 x)