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beweisen cos^2(x)= 1/2+1/2 cos(2x)

Lösung

beweisen

cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (2 x)

Wahr

Schritte zur Lösung

cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (2 x)

Manipuliere die rechte Seite

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (2 x)

Faktorisiere

\frac{1}{2} + cos (2 x) \frac{1}{2} : \frac{1}{2} (1 + cos (2 x))

\frac{1}{2} + cos (2 x) \frac{1}{2}

Klammere gleiche Terme aus

\frac{1}{2}

= \frac{1}{2} (1 + cos (2 x))

= (1 + cos (2 x)) \frac{1}{2}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(1 + cos (2 x)) \frac{1}{2}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= (1 + 2 cos^{2} (x) - 1) \frac{1}{2}

Vereinfache

(1 + 2 cos^{2} (x) - 1) \frac{1}{2} : cos^{2} (x)

(1 + 2 cos^{2} (x) - 1) \frac{1}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ( 1 + 2 cos ^{2} ( x ) - 1 )}{2}

1 \cdot (1 + 2 cos^{2} (x) - 1) = 2 cos^{2} (x)

1 \cdot (1 + 2 cos^{2} (x) - 1)

Vereinfache

1 + 2 cos^{2} (x) - 1 : 2 cos^{2} (x)

1 + 2 cos^{2} (x) - 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{2} (x) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (x)

= 1 \cdot 2 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= 2 cos^{2} (x)

= \frac{2 cos ^{2} ( x )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= cos^{2} (x)

= cos^{2} (x)

= cos^{2} (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e tan (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( θ )}{sin ( θ )}

p ro v e \frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )} = csc (2 x)

p ro v e cos (x + \frac{π}{2}) = sin (x)

p ro v e tan (\frac{π}{2} - x) sin (x) = cos (x)

p ro v e (1 + sin (x)) (1 + sin (- x)) = cos^{2} (x)