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beweisen tan^2(y)(csc^2(y)-1)=1

Lösung

beweisen

tan^{2} (y) (csc^{2} (y) - 1) = 1

Wahr

Schritte zur Lösung

tan^{2} (y) (csc^{2} (y) - 1) = 1

Manipuliere die linke Seite

tan^{2} (y) (csc^{2} (y) - 1)

Drücke mit sin, cos aus

(- 1 + csc^{2} (y)) tan^{2} (y)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= (- 1 + (\frac{1}{sin ( y )})^{2}) tan^{2} (y)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (- 1 + (\frac{1}{sin ( y )})^{2}) (\frac{sin ( y )}{cos ( y )})^{2}

Vereinfache

(- 1 + (\frac{1}{sin ( y )})^{2}) (\frac{sin ( y )}{cos ( y )})^{2} : \frac{- sin ^{2} ( y ) + 1}{cos ^{2} ( y )}

(- 1 + (\frac{1}{sin ( y )})^{2}) (\frac{sin ( y )}{cos ( y )})^{2}

(\frac{1}{sin ( y )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( y )}

(\frac{1}{sin ( y )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( y )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( y )}

= (\frac{sin ( y )}{cos ( y )})^{2} (\frac{1}{sin ^{2} ( y )} - 1)

(\frac{sin ( y )}{cos ( y )})^{2} = \frac{sin ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )}

(\frac{sin ( y )}{cos ( y )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{sin ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )}

= \frac{sin ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )} (\frac{1}{sin ^{2} ( y )} - 1)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ^{2} ( y ) ( - 1 + \frac{1}{s i n ^{2} ( y )} )}{cos ^{2} ( y )}

Füge

- 1 + \frac{1}{sin ^{2} ( y )}

zusammen:

\frac{- sin ^{2} ( y ) + 1}{sin ^{2} ( y )}

- 1 + \frac{1}{sin ^{2} ( y )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( y )}{sin ^{2} ( y )}

= - \frac{1 \cdot sin ^{2} ( y )}{sin ^{2} ( y )} + \frac{1}{sin ^{2} ( y )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot sin ^{2} ( y ) + 1}{sin ^{2} ( y )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (y) = sin^{2} (y)

= \frac{- sin ^{2} ( y ) + 1}{sin ^{2} ( y )}

= \frac{\frac{- s i n ^{2} ( y ) + 1}{s i n ^{2} ( y )} sin ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )}

Multipliziere

sin^{2} (y) \frac{- sin ^{2} ( y ) + 1}{sin ^{2} ( y )} : - sin^{2} (y) + 1

sin^{2} (y) \frac{- sin ^{2} ( y ) + 1}{sin ^{2} ( y )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - sin ^{2} ( y ) + 1 ) sin ^{2} ( y )}{sin ^{2} ( y )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin^{2} (y)

= - - sin^{2} (y) + 1

= \frac{- sin ^{2} ( y ) + 1}{cos ^{2} ( y )}

= \frac{- sin ^{2} ( y ) + 1}{cos ^{2} ( y )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - sin ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 1

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cos (2 π + x) = cos (x)

p ro v e cos (a - b) - cos (a + b) = 2 sin (a) sin (b)

p ro v e cot (2 b) = \frac{cot ^{2} ( b ) - 1}{2 cot ( b )}

p ro v e 1 + tan^{2} (a) = sec^{2} (a)

p ro v e 2 cos (x) cos (y) = cos (x + y) + cos (x - y)