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beweisen sin(pi/2-u)=cos(u)

Lösung

beweisen

sin (\frac{π}{2} - u) = cos (u)

Wahr

Schritte zur Lösung

sin (\frac{π}{2} - u) = cos (u)

Manipuliere die linke Seite

sin (\frac{π}{2} - u)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (\frac{π}{2} - u)

Benutze die Winkel-Differenz-Identität:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= sin (\frac{π}{2}) cos (u) - cos (\frac{π}{2}) sin (u)

Vereinfache

sin (\frac{π}{2}) cos (u) - cos (\frac{π}{2}) sin (u) : cos (u)

sin (\frac{π}{2}) cos (u) - cos (\frac{π}{2}) sin (u)

sin (\frac{π}{2}) cos (u) = cos (u)

sin (\frac{π}{2}) cos (u)

Vereinfache

sin (\frac{π}{2}) : 1

sin (\frac{π}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{2}) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= 1

= 1 \cdot cos (u)

Multipliziere:

1 \cdot cos (u) = cos (u)

= cos (u)

cos (\frac{π}{2}) sin (u) = 0

cos (\frac{π}{2}) sin (u)

Vereinfache

cos (\frac{π}{2}) : 0

cos (\frac{π}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{2}) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 0

= 0 \cdot sin (u)

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

= cos (u) - 0

cos (u) - 0 = cos (u)

= cos (u)

= cos (u)

= cos (u)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e arccos (x) = \frac{1}{cos ( x )}

p ro v e \frac{csc ^{2} ( x ) - 1}{cos ( x )} = cot (x) csc (x)

p ro v e cos^{2} (x) (1 - sec^{2} (x)) = - sin^{2} (x)

p ro v e tan^{2} (θ) csc^{2} (θ) = sec^{2} (θ)

p ro v e (1 + tan (x)) (1 - cot (x)) = tan (x) - cot (x)