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beweisen tan^2(θ)csc^2(θ)=sec^2(θ)

Lösung

beweisen

tan^{2} (θ) csc^{2} (θ) = sec^{2} (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

tan^{2} (θ) csc^{2} (θ) = sec^{2} (θ)

Manipuliere die linke Seite

tan^{2} (θ) csc^{2} (θ)

Drücke mit sin, cos aus

csc^{2} (θ) tan^{2} (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} tan^{2} (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}

Vereinfache

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2} (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2} : \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2} (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

= (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2} \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )} \cdot \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin^{2} (θ)

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{( \frac{1}{s e c ( θ )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1}{( \frac{1}{s e c ( θ )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sec ( θ )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sec ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{\frac{1}{s e c ^{2} ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ^{2} ( θ )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec^{2} (θ)

sec^{2} (θ)

sec^{2} (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e (1 + tan (x)) (1 - cot (x)) = tan (x) - cot (x)

p ro v e 8 - 4 csc^{2} (z) = 4 - 4 cot^{2} (z)

p ro v e 3 sec^{2} (x) - 2 tan^{2} (x) - 4 = 0

p ro v e tan (θ) cot (θ) - 1 = 1 - sec (θ) cos (θ)

p ro v e \frac{cot ( 2 x )}{cos ( 2 x )} = csc (2 x)