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provar sin^2(x)cos^2(x)= 1/4 sin^2(2x)

Solução

provar

sin^{2} (x) cos^{2} (x) = \frac{1}{4} sin^{2} (2 x)

Verdadeiro

Passos da solução

sin^{2} (x) cos^{2} (x) = \frac{1}{4} sin^{2} (2 x)

Manipular o lado esquerdo

\frac{1}{4} sin^{2} (2 x)

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{1}{4} sin^{2} (2 x)

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{1}{4} (2 sin (x) cos (x))^{2}

Simplificar

\frac{1}{4} (2 sin (x) cos (x))^{2} : sin^{2} (x) cos^{2} (x)

\frac{1}{4} (2 sin (x) cos (x))^{2}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ( 2 sin ( x ) cos ( x ) ) ^{2}}{4}

Multiplicar:

1 \cdot (2 sin (x) cos (x))^{2} = (2 sin (x) cos (x))^{2}

= \frac{( 2 sin ( x ) cos ( x ) ) ^{2}}{4}

(2 sin (x) cos (x))^{2} = 2^{2} sin^{2} (x) cos^{2} (x)

(2 sin (x) cos (x))^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} sin^{2} (x) cos^{2} (x)

= \frac{2 ^{2} sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}{4}

Fatorar

4 : 2^{2}

Fatorar

4 = 2^{2}

= \frac{2 ^{2} sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}{2 ^{2}}

Eliminar o fator comum:

2^{2}

= sin^{2} (x) cos^{2} (x)

= sin^{2} (x) cos^{2} (x)

= sin^{2} (x) cos^{2} (x)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e cot^{2} (a) = cos^{2} (a) + ((cot (a)) (cos (a)))^{2}

p ro v e (1 - sin^{2} (t)) (1 + tan^{2} (t)) = 1

p ro v e 1 - cosh^{2} (x) = - sinh^{2} (x)

p ro v e cot^{2} (θ) + 1 = csc^{2} (θ)

p ro v e 2 cos (θ) tan (θ) csc (θ) = 2