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Popolare Trigonometria >

dimostrare cot^2(a)=cos^2(a)+((cot(a))(cos(a)))^2

Soluzione

dimostrare

cot^{2} (a) = cos^{2} (a) + ((cot (a)) (cos (a)))^{2}

Soluzione

Vero

Fasi della soluzione

cot^{2} (a) = cos^{2} (a) + (cot (a) cos (a))^{2}

Manipolando il lato destro

cos^{2} (a) + (cot (a) cos (a))^{2}

Esprimere con sen e cos

(cos (a) cot (a))^{2} + cos^{2} (a)

Usare l'identità trigonometrica di base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (cos (a) \frac{cos ( a )}{sin ( a )})^{2} + cos^{2} (a)

Semplifica

(cos (a) \frac{cos ( a )}{sin ( a )})^{2} + cos^{2} (a) : \frac{cos ^{4} ( a ) + cos ^{2} ( a ) sin ^{2} ( a )}{sin ^{2} ( a )}

(cos (a) \frac{cos ( a )}{sin ( a )})^{2} + cos^{2} (a)

(cos (a) \frac{cos ( a )}{sin ( a )})^{2} = \frac{cos ^{4} ( a )}{sin ^{2} ( a )}

(cos (a) \frac{cos ( a )}{sin ( a )})^{2}

Moltiplicare

cos (a) \frac{cos ( a )}{sin ( a )} : \frac{cos ^{2} ( a )}{sin ( a )}

cos (a) \frac{cos ( a )}{sin ( a )}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( a ) cos ( a )}{sin ( a )}

cos (a) cos (a) = cos^{2} (a)

cos (a) cos (a)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (a) cos (a) = cos^{1 + 1} (a)

= cos^{1 + 1} (a)

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (a)

= \frac{cos ^{2} ( a )}{sin ( a )}

= (\frac{cos ^{2} ( a )}{sin ( a )})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( cos ^{2} ( a ) ) ^{2}}{sin ^{2} ( a )}

(cos^{2} (a))^{2} : cos^{4} (a)

Applica la regola degli esponenti:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= cos^{2 \cdot 2} (a)

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= cos^{4} (a)

= \frac{cos ^{4} ( a )}{sin ^{2} ( a )}

= \frac{cos ^{4} ( a )}{sin ^{2} ( a )} + cos^{2} (a)

Converti l'elemento in frazione:

cos^{2} (a) = \frac{cos ^{2} ( a ) sin ^{2} ( a )}{sin ^{2} ( a )}

= \frac{cos ^{4} ( a )}{sin ^{2} ( a )} + \frac{cos ^{2} ( a ) sin ^{2} ( a )}{sin ^{2} ( a )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{4} ( a ) + cos ^{2} ( a ) sin ^{2} ( a )}{sin ^{2} ( a )}

= \frac{cos ^{4} ( a ) + cos ^{2} ( a ) sin ^{2} ( a )}{sin ^{2} ( a )}

= \frac{cos ^{4} ( a ) + cos ^{2} ( a ) sin ^{2} ( a )}{sin ^{2} ( a )}

Fattorizza

\frac{cos ^{4} ( a ) + cos ^{2} ( a ) sin ^{2} ( a )}{sin ^{2} ( a )} : \frac{cos ^{2} ( a ) ( cos ^{2} ( a ) + sin ^{2} ( a ) )}{sin ^{2} ( a )}

\frac{cos ^{4} ( a ) + cos ^{2} ( a ) sin ^{2} ( a )}{sin ^{2} ( a )}

Fattorizza

cos^{4} (a) + cos^{2} (a) sin^{2} (a) : cos^{2} (a) (cos^{2} (a) + sin^{2} (a))

cos^{4} (a) + cos^{2} (a) sin^{2} (a)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

cos^{4} (a) = cos^{2} (a) cos^{2} (a)

= cos^{2} (a) cos^{2} (a) + cos^{2} (a) sin^{2} (a)

Fattorizzare dal termine comune

cos^{2} (a)

= cos^{2} (a) (cos^{2} (a) + sin^{2} (a))

= \frac{cos ^{2} ( a ) ( cos ^{2} ( a ) + sin ^{2} ( a ) )}{sin ^{2} ( a )}

= \frac{( cos ^{2} ( a ) + sin ^{2} ( a ) ) cos ^{2} ( a )}{sin ^{2} ( a )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{( cos ^{2} ( a ) + sin ^{2} ( a ) ) cos ^{2} ( a )}{sin ^{2} ( a )}

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( a )}{sin ^{2} ( a )}

Semplificare

= \frac{cos ^{2} ( a )}{sin ^{2} ( a )}

= \frac{cos ^{2} ( a )}{sin ^{2} ( a )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

= \frac{cos ( a )}{sin ( a )} \cdot \frac{cos ( a )}{sin ( a )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

\frac{cos ( a ) cot ( a )}{sin ( a )}

= cot (a) \frac{cos ( a )}{sin ( a )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

cot (a) cot (a)

Semplifica

cot (a) cot (a) : cot^{2} (a)

cot (a) cot (a)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cot (a) cot (a) = cot^{1 + 1} (a)

= cot^{1 + 1} (a)

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= cot^{2} (a)

cot^{2} (a)

cot^{2} (a)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Esempi popolari

dimostrare (1-sin^2(t))(1+tan^2(t))=1

p ro v e (1 - sin^{2} (t)) (1 + tan^{2} (t)) = 1

dimostrare 1-cosh^2(x)=-sinh^2(x)

p ro v e 1 - cosh^{2} (x) = - sinh^{2} (x)

dimostrare cot^2(θ)+1=csc^2(θ)

p ro v e cot^{2} (θ) + 1 = csc^{2} (θ)

dimostrare 2cos(θ)tan(θ)csc(θ)=2

p ro v e 2 cos (θ) tan (θ) csc (θ) = 2

dimostrare ((cos^2(x)+4cos(x)+4))/((cos(x)+2))=((2sec(x)+1))/(sec(x))

p ro v e \frac{( cos ^{2} ( x ) + 4 cos ( x ) + 4 )}{( cos ( x ) + 2 )} = \frac{( 2 sec ( x ) + 1 )}{sec ( x )}