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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (1+cot^2(x))/(sec^2(x))=cot^2(x)

Lösung

beweisen

\frac{1 + cot ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x )} = cot^{2} (x)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1 + cot ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x )} = cot^{2} (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{1 + cot ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 + cot ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}{sec ^{2} ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}} : \frac{cos ^{2} ( x ) ( sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x ) )}{sin ^{2} ( x )}

\frac{1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}{\frac{1}{c o s ^{2} ( x )}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 + \frac{c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )}}{\frac{1}{c o s ^{2} ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 1 + \frac{c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )} ) cos ^{2} ( x )}{1}

Füge

1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{s i n ^{2} ( x ) + c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )} cos ^{2} ( x )}{1}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{1} = a

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} cos^{2} (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) ( sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x ) )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Vereinfache

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

\frac{cos ( x ) cot ( x )}{sin ( x )}

= cot (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

cot (x) cot (x)

Vereinfache

cot (x) cot (x) : cot^{2} (x)

cot (x) cot (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cot (x) cot (x) = cot^{1 + 1} (x)

= cot^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cot^{2} (x)

cot^{2} (x)

cot^{2} (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen 2cos^2(x/2)=(sin^2(x))/(1-cos(x))

p ro v e 2 cos^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{sin ^{2} ( x )}{1 - cos ( x )}

beweisen sin(a)cos(a)=cos^2(a)tan(a)

p ro v e sin (a) cos (a) = cos^{2} (a) tan (a)

beweisen sin(-pi/4)=-sin(pi/4)

p ro v e sin (- \frac{π}{4}) = - sin (\frac{π}{4})

beweisen sin(z+w)=sin(z)cos(w)+cos(z)sin(w)

p ro v e sin (z + w) = sin (z) cos (w) + cos (z) sin (w)

beweisen tan^2(x)=((1-cos(2x)))/(1+cos(2x))

p ro v e tan^{2} (x) = \frac{( 1 - cos ( 2 x ) )}{1 + cos ( 2 x )}