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Beliebt Trigonometrie >

beweisen 2csc^2(y)= 1/(1-cos(y))+1/(1+cos(y))

Lösung

beweisen

2 csc^{2} (y) = \frac{1}{1 - cos ( y )} + \frac{1}{1 + cos ( y )}

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

2 csc^{2} (y) = \frac{1}{1 - cos ( y )} + \frac{1}{1 + cos ( y )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{1}{1 - cos ( y )} + \frac{1}{1 + cos ( y )}

Vereinfache

\frac{1}{1 + cos ( y )} + \frac{1}{1 - cos ( y )} : \frac{2}{( cos ( y ) + 1 ) ( - cos ( y ) + 1 )}

\frac{1}{1 + cos ( y )} + \frac{1}{1 - cos ( y )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

1 + cos (y), 1 - cos (y) : (cos (y) + 1) (- cos (y) + 1)

1 + cos (y), 1 - cos (y)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

1 + cos (y)

oder

1 - cos (y)

auftauchen.

= (cos (y) + 1) (- cos (y) + 1)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

(cos (y) + 1) (- cos (y) + 1)

Für

\frac{1}{1 + cos ( y )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

- cos (y) + 1

\frac{1}{1 + cos ( y )} = \frac{1 \cdot ( - cos ( y ) + 1 )}{( 1 + cos ( y ) ) ( - cos ( y ) + 1 )} = \frac{- cos ( y ) + 1}{( cos ( y ) + 1 ) ( - cos ( y ) + 1 )}

Für

\frac{1}{1 - cos ( y )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos (y) + 1

\frac{1}{1 - cos ( y )} = \frac{1 \cdot ( cos ( y ) + 1 )}{( 1 - cos ( y ) ) ( cos ( y ) + 1 )} = \frac{cos ( y ) + 1}{( cos ( y ) + 1 ) ( - cos ( y ) + 1 )}

= \frac{- cos ( y ) + 1}{( cos ( y ) + 1 ) ( - cos ( y ) + 1 )} + \frac{cos ( y ) + 1}{( cos ( y ) + 1 ) ( - cos ( y ) + 1 )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ( y ) + 1 + cos ( y ) + 1}{( cos ( y ) + 1 ) ( - cos ( y ) + 1 )}

- cos (y) + 1 + cos (y) + 1 = 2

- cos (y) + 1 + cos (y) + 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= - cos (y) + cos (y) + 1 + 1

Addiere gleiche Elemente:

- cos (y) + cos (y) = 0

= 1 + 1

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2

= \frac{2}{( cos ( y ) + 1 ) ( - cos ( y ) + 1 )}

= \frac{2}{( 1 + cos ( y ) ) ( 1 - cos ( y ) )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{2}{( 1 + cos ( y ) ) ( 1 - cos ( y ) )}

Multipliziere aus

(1 + cos (y)) (1 - cos (y)) : 1 - cos^{2} (y)

(1 + cos (y)) (1 - cos (y))

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = cos (y)

= 1^{2} - cos^{2} (y)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - cos^{2} (y)

= \frac{2}{1 - cos ^{2} ( y )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (y) + sin^{2} (y)

1 - cos^{2} (y) = sin^{2} (y)

= \frac{2}{sin ^{2} ( y )}

= \frac{2}{sin ^{2} ( y )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{2}{( \frac{1}{c s c ( y )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{2}{( \frac{1}{c s c ( y )} ) ^{2}}

(\frac{1}{csc ( y )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( y )}

(\frac{1}{csc ( y )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( y )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( y )}

= \frac{2}{\frac{1}{c s c ^{2} ( y )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{2 csc ^{2} ( y )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= 2 csc^{2} (y)

2 csc^{2} (y)

2 csc^{2} (y)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen cot(2x)=(cos(2x))/(sin(2x))

p ro v e cot (2 x) = \frac{cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )}

beweisen sin(θ-pi/2)=-cos(θ)

p ro v e sin (θ - \frac{π}{2}) = - cos (θ)

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