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beweisen sin(θ-pi/2)=-cos(θ)

Lösung

beweisen

sin (θ - \frac{π}{2}) = - cos (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

sin (θ - \frac{π}{2}) = - cos (θ)

Manipuliere die linke Seite

sin (θ - \frac{π}{2})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (θ - \frac{π}{2})

Benutze die Winkel-Differenz-Identität:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= sin (θ) cos (\frac{π}{2}) - cos (θ) sin (\frac{π}{2})

Vereinfache

sin (θ) cos (\frac{π}{2}) - cos (θ) sin (\frac{π}{2}) : - cos (θ)

sin (θ) cos (\frac{π}{2}) - cos (θ) sin (\frac{π}{2})

sin (θ) cos (\frac{π}{2}) = 0

sin (θ) cos (\frac{π}{2})

Vereinfache

cos (\frac{π}{2}) : 0

cos (\frac{π}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{2}) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 0

= 0 \cdot sin (θ)

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

cos (θ) sin (\frac{π}{2}) = cos (θ)

cos (θ) sin (\frac{π}{2})

Vereinfache

sin (\frac{π}{2}) : 1

sin (\frac{π}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{2}) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= 1

= 1 \cdot cos (θ)

Multipliziere:

cos (θ) \cdot 1 = cos (θ)

= cos (θ)

= 0 - cos (θ)

0 - cos (θ) = - cos (θ)

= - cos (θ)

= - cos (θ)

= - cos (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sec (x) - cos (x) = tan (x) \cdot sin (x)

p ro v e cot (4 5^{\circ}) = \frac{cos ( 4 5 ^{\circ} )}{sin ( 4 5 ^{\circ} )}

p ro v e \frac{1 - sin ( x )}{1 + sin ( x )} = sec (x) - tan (x)

p ro v e cot (2 x) + csc (2 x) = cot (x)

p ro v e sin (x - \frac{π}{2}) + sin (x + \frac{π}{2}) = 0