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beweisen sin^2(u)(cot^2(u)+1)=1

Lösung

beweisen

sin^{2} (u) (cot^{2} (u) + 1) = 1

Wahr

Schritte zur Lösung

sin^{2} (u) (cot^{2} (u) + 1) = 1

Manipuliere die linke Seite

sin^{2} (u) (cot^{2} (u) + 1)

Drücke mit sin, cos aus

(1 + cot^{2} (u)) sin^{2} (u)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (1 + (\frac{cos ( u )}{sin ( u )})^{2}) sin^{2} (u)

Vereinfache

(1 + (\frac{cos ( u )}{sin ( u )})^{2}) sin^{2} (u) : sin^{2} (u) + cos^{2} (u)

(1 + (\frac{cos ( u )}{sin ( u )})^{2}) sin^{2} (u)

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= sin^{2} (u) (\frac{cos ^{2} ( u )}{sin ^{2} ( u )} + 1)

Füge

1 + \frac{cos ^{2} ( u )}{sin ^{2} ( u )}

zusammen:

\frac{sin ^{2} ( u ) + cos ^{2} ( u )}{sin ^{2} ( u )}

1 + \frac{cos ^{2} ( u )}{sin ^{2} ( u )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( u )}{sin ^{2} ( u )}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( u )}{sin ^{2} ( u )} + \frac{cos ^{2} ( u )}{sin ^{2} ( u )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( u ) + cos ^{2} ( u )}{sin ^{2} ( u )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (u) = sin^{2} (u)

= \frac{sin ^{2} ( u ) + cos ^{2} ( u )}{sin ^{2} ( u )}

= \frac{sin ^{2} ( u ) + cos ^{2} ( u )}{sin ^{2} ( u )} sin^{2} (u)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( sin ^{2} ( u ) + cos ^{2} ( u ) ) sin ^{2} ( u )}{sin ^{2} ( u )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin^{2} (u)

= sin^{2} (u) + cos^{2} (u)

= sin^{2} (u) + cos^{2} (u)

= cos^{2} (u) + sin^{2} (u)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos^{2} (u) + sin^{2} (u)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= 1

= 1

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{cos ( - x )}{sin ( - x )} = - cot (x)

p ro v e sin (\frac{9 π}{4}) = cos (\frac{9 π}{4})

p ro v e tan (β) = csc (β) sec (β) - cot (β)

p ro v e cos (x - 9 0^{\circ}) = sin (x)

p ro v e \frac{sec ( v ) - cos ( v )}{sec ( v )} = sin^{2} (v)