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beweisen ((1-cos(-x)))/(sec(-x)-1)=cos(x)

Lösung

beweisen

\frac{( 1 - cos ( - x ) )}{sec ( - x ) - 1} = cos (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1 - cos ( - x )}{sec ( - x ) - 1} = cos (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{1 - cos ( - x )}{sec ( - x ) - 1}

Verwende die negative Winkelidentität:

cos (- x) = cos (x)

= \frac{1 - cos ( x )}{- 1 + sec ( - x )}

Verwende die negative Winkelidentität:

sec (- x) = sec (x)

= \frac{1 - cos ( x )}{- 1 + sec ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 - cos ( x )}{- 1 + sec ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1 - cos ( x )}{- 1 + \frac{1}{c o s ( x )}}

Vereinfache

\frac{1 - cos ( x )}{- 1 + \frac{1}{c o s ( x )}} : cos (x)

\frac{1 - cos ( x )}{- 1 + \frac{1}{c o s ( x )}}

Füge

- 1 + \frac{1}{cos ( x )}

zusammen:

\frac{- cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

- 1 + \frac{1}{cos ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{1}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{- cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

= \frac{1 - cos ( x )}{\frac{- c o s ( x ) + 1}{c o s ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 1 - cos ( x ) ) cos ( x )}{- cos ( x ) + 1}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

1 - cos (x)

= cos (x)

= cos (x)

= cos (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 1 - cot^{2} (θ) = 2 - csc^{2} (θ)

p ro v e cos (- θ + \frac{π}{2}) = sin (θ)

p ro v e 1 - sin (2 x) csc (x) = cos (x) cot (x)

p ro v e \frac{cos ( 2 x )}{1 - sin ^{2} ( x )} = 2 - sec^{2} (x)

p ro v e cot (- θ) \cdot cos (- θ) + sin (- θ) = - csc (θ)