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provar cos^2(x)(2+tan^2(x))=2-sin^2(x)

Solução

provar

cos^{2} (x) (2 + tan^{2} (x)) = 2 - sin^{2} (x)

Verdadeiro

Passos da solução

cos^{2} (x) (2 + tan^{2} (x)) = 2 - sin^{2} (x)

Manipular o lado direito

cos^{2} (x) (2 + tan^{2} (x))

Expresar com seno, cosseno

(2 + tan^{2} (x)) cos^{2} (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (2 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}) cos^{2} (x)

Simplificar

(2 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}) cos^{2} (x) : 2 cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

(2 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}) cos^{2} (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= cos^{2} (x) (\frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + 2)

Simplificar

2 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

em uma fração:

\frac{2 cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

2 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Converter para fração:

2 = \frac{2 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} cos^{2} (x)

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 2 cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Eliminar o fator comum:

cos^{2} (x)

= 2 cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

= 2 cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

= sin^{2} (x) + 2 cos^{2} (x)

Manipular o lado esquerdo

2 - sin^{2} (x)

Reeecreva usando identidades trigonométricas

2 - sin^{2} (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 2 - (1 - cos^{2} (x))

Simplificar

2 - (1 - cos^{2} (x)) : cos^{2} (x) + 1

2 - (1 - cos^{2} (x))

- (1 - cos^{2} (x)) : - 1 + cos^{2} (x)

- (1 - cos^{2} (x))

Colocar os parênteses

= - (1) - (- cos^{2} (x))

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (x)

= 2 - 1 + cos^{2} (x)

Subtrair:

2 - 1 = 1

= cos^{2} (x) + 1

= cos^{2} (x) + 1

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

= cos^{2} (x) + cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

Somar elementos similares:

cos^{2} (x) + cos^{2} (x) = 2 cos^{2} (x)

= 2 cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

= 2 cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e sin (x) (1 + cos (2 x)) = sin (2 x) cos (x)

p ro v e (sec (x) - tan (x)) (1 + sin (x)) = cos (x)

p ro v e tan (- x) = cos (x)

p ro v e cos (4 5^{\circ} - x) = cos (x - 4 5^{\circ})

p ro v e \frac{1 - csc ^{2} ( A )}{csc ^{2} ( A )} = - cos^{2} (A)