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Populaire Trigonométrie >

prouver sin(67)=sin(42)cos(25)+cos(42)sin(25)

Solution

prouver

sin (6 7^{\circ}) = sin (4 2^{\circ}) cos (2 5^{\circ}) + cos (4 2^{\circ}) sin (2 5^{\circ})

Solution

vrai

étapes des solutions

sin (6 7^{\circ}) = sin (4 2^{\circ}) cos (2 5^{\circ}) + cos (4 2^{\circ}) sin (2 5^{\circ})

En manipulant le côté droit

sin (4 2^{\circ}) cos (2 5^{\circ}) + cos (4 2^{\circ}) sin (2 5^{\circ})

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

sin (4 2^{\circ}) cos (2 5^{\circ}) + cos (4 2^{\circ}) sin (2 5^{\circ})

Utiliser l'identité de la somme de l'angle:

sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t) = sin (s + t)

= sin (4 2^{\circ} + 2 5^{\circ})

Relier

4 2^{\circ} + 2 5^{\circ} : 6 7^{\circ}

4 2^{\circ} + 2 5^{\circ}

Plus petit commun multiple de

30, 36 : 180

30, 36

Plus petit commun multiple (PPCM)

Factorisation première de

30 : 2 \cdot 3 \cdot 5

30

30

divisée par

230 = 15 \cdot 2

= 2 \cdot 15

15

divisée par

315 = 5 \cdot 3

= 2 \cdot 3 \cdot 5

2, 3, 5

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 3 \cdot 5

Factorisation première de

36 : 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

36

36

divisée par

236 = 18 \cdot 2

= 2 \cdot 18

18

divisée par

218 = 9 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 9

9

divisée par

39 = 3 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

Multiplier chaque facteur qui apparait le plus grand nombre de fois dans

30

36

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 180

= 180

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

180

Pour

4 2^{\circ} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

6

4 2^{\circ} = \frac{126 0 ^{\circ} 6}{30 \cdot 6} = 4 2^{\circ}

Pour

2 5^{\circ} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

5

2 5^{\circ} = \frac{90 0 ^{\circ} 5}{36 \cdot 5} = 2 5^{\circ}

= 4 2^{\circ} + 2 5^{\circ}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{756 0 ^{\circ} + 450 0 ^{\circ}}{180}

Additionner les éléments similaires :

756 0^{\circ} + 450 0^{\circ} = 1206 0^{\circ}

= 6 7^{\circ}

= sin (6 7^{\circ})

= sin (6 7^{\circ})

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai

Exemples populaires

prouver cos(90+30)=cos(120)

prouver 1-sin(x)=cos^2(x)

prouver 1+cos(2x)+2sin^{(2)}(x)=2

prouver 1/(1+sin(x))+1/(1+csc(x))=1

prouver sin^2(θ)cos^2(θ)=1