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provar 2sin(a+b)sin(a-b)=cos(2b)-cos(2a)

Solução

provar

2 sin (a + b) sin (a - b) = cos (2 b) - cos (2 a)

Verdadeiro

Passos da solução

2 sin (a + b) sin (a - b) = cos (2 b) - cos (2 a)

Manipular o lado direito

2 sin (a + b) sin (a - b)

Reeecreva usando identidades trigonométricas

2 sin (a + b) sin (a - b)

Use a identidade da transformação de produto em soma:

sin (s) sin (t) = \frac{1}{2} (cos (s - t) - cos (s + t))

= 2 \cdot \frac{1}{2} (cos (a + b - (a - b)) - cos (a + b + a - b))

Simplificar

2 \cdot \frac{1}{2} (cos (a + b - (a - b)) - cos (a + b + a - b)) : cos (2 b) - cos (2 a)

2 \cdot \frac{1}{2} (cos (a + b - (a - b)) - cos (a + b + a - b))

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 ( cos ( a + b - ( a - b ) ) - cos ( a + b + a - b ) )}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= 1 \cdot (cos (a + b - (a - b)) - cos (a + b + a - b))

Expandir

a + b - (a - b) : 2 b

a + b - (a - b)

- (a - b) : - a + b

- (a - b)

Colocar os parênteses

= - (a) - (- b)

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a, - (a) = - a

= - a + b

= a + b - a + b

Simplificar

a + b - a + b : 2 b

a + b - a + b

Agrupar termos semelhantes

= a - a + b + b

Somar elementos similares:

a - a = 0

= b + b

Somar elementos similares:

b + b = 2 b

= 2 b

= 2 b

= 1 \cdot (cos (2 b) - cos (a + a + b - b))

Simplificar

a + b + a - b : 2 a

a + b + a - b

Agrupar termos semelhantes

= a + a + b - b

Somar elementos similares:

a + a = 2 a

= 2 a + b - b

Somar elementos similares:

b - b = 0

= 2 a

= 1 \cdot (cos (2 b) - cos (2 a))

Simplificar

= cos (2 b) - cos (2 a)

= cos (2 b) - cos (2 a)

= cos (2 b) - cos (2 a)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e \frac{1}{sin ( x )} = 2

p ro v e 5 sec^{2} (x) = 5 sec^{2} (- x)

p ro v e tan (θ) + 1 = \frac{cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )}

p ro v e - \frac{1}{2} = 2 sin (- \frac{π}{12}) cos (- \frac{π}{12})

p ro v e sec^{4} (x) = tan^{4} (x)