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(2cos(x)-sqrt(3))/(cos^2(x))<0

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解答

cos2(x)2cos(x)−3​​<0

解答

6π​+2πn<x<2π​+2πnor2π​+2πn<x<23π​+2πnor23π​+2πn<x<611π​+2πn
+2
间隔符号
(6π​+2πn,2π​+2πn)∪(2π​+2πn,23π​+2πn)∪(23π​+2πn,611π​+2πn)
十进制
0.52359…+2πn<x<1.57079…+2πnor1.57079…+2πn<x<4.71238…+2πnor4.71238…+2πn<x<5.75958…+2πn
求解步骤
cos2(x)2cos(x)−3​​<0
令:u=cos(x)u22u−3​​<0
u22u−3​​<0:u<0or0<u<23​​
u22u−3​​<0
确定区间
确定 u22u−3​​ 符号
确定 2u−3​符号
2u−3​=0:u=23​​
2u−3​=0
将 3​到右边
2u−3​=0
两边加上 3​2u−3​+3​=0+3​
化简2u=3​
2u=3​
两边除以 2
2u=3​
两边除以 222u​=23​​
化简u=23​​
u=23​​
2u−3​<0:u<23​​
2u−3​<0
将 3​到右边
2u−3​<0
两边加上 3​2u−3​+3​<0+3​
化简2u<3​
2u<3​
两边除以 2
2u<3​
两边除以 222u​<23​​
化简u<23​​
u<23​​
2u−3​>0:u>23​​
2u−3​>0
将 3​到右边
2u−3​>0
两边加上 3​2u−3​+3​>0+3​
化简2u>3​
2u>3​
两边除以 2
2u>3​
两边除以 222u​>23​​
化简u>23​​
u>23​​
确定 u2符号
u2=0:u=0
u2=0
使用法则 xn=0⇒x=0
u=0
u2>0:u<0oru>0
u2>0
对于 un>0,若 n为偶数,则 u<0oru>0
u<0oru>0
找到奇点
找到分母的零解 u2:u=0
u2=0
使用法则 xn=0⇒x=0
u=0
总结如下表:2u−3​u2u22u−3​​​u<0−+−​u=0−0未定义​0<u<23​​−+−​u=23​​0+0​u>23​​+++​​
确定满足所需条件的区间:<0u<0or0<u<23​​
u<0or0<u<23​​
u<0or0<u<23​​
u=cos(x)代回cos(x)<0or0<cos(x)<23​​
cos(x)<0:2π​+2πn<x<23π​+2πn
cos(x)<0
对于 cos(x)<a,若 −1<a≤1,则 arccos(a)+2πn<x<2π−arccos(a)+2πnarccos(0)+2πn<x<2π−arccos(0)+2πn
化简 arccos(0):2π​
arccos(0)
使用以下普通恒等式:arccos(0)=2π​x−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​1​arccos(x)π65π​43π​32π​2π​3π​4π​6π​0​arccos(x)180∘150∘135∘120∘90∘60∘45∘30∘0∘​​=2π​
化简 2π−arccos(0):23π​
2π−arccos(0)
使用以下普通恒等式:arccos(0)=2π​x−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​1​arccos(x)π65π​43π​32π​2π​3π​4π​6π​0​arccos(x)180∘150∘135∘120∘90∘60∘45∘30∘0∘​​=2π−2π​
化简
2π−2π​
将项转换为分式: 2π=22π2​=22π2​−2π​
因为分母相等,所以合并分式: ca​±cb​=ca±b​=22π2−π​
2π2−π=3π
2π2−π
数字相乘:2⋅2=4=4π−π
同类项相加:4π−π=3π=3π
=23π​
=23π​
2π​+2πn<x<23π​+2πn
0<cos(x)<23​​:6π​+2πn<x<2π​+2πnor23π​+2πn<x<611π​+2πn
0<cos(x)<23​​
若 a<u<b,则 a<uandu<b0<cos(x)andcos(x)<23​​
0<cos(x):−2π​+2πn<x<2π​+2πn
0<cos(x)
交换两边cos(x)>0
对于 cos(x)>a,若 −1≤a<1,则 −arccos(a)+2πn<x<arccos(a)+2πn−arccos(0)+2πn<x<arccos(0)+2πn
化简 −arccos(0):−2π​
−arccos(0)
使用以下普通恒等式:arccos(0)=2π​x−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​1​arccos(x)π65π​43π​32π​2π​3π​4π​6π​0​arccos(x)180∘150∘135∘120∘90∘60∘45∘30∘0∘​​=−2π​
化简 arccos(0):2π​
arccos(0)
使用以下普通恒等式:arccos(0)=2π​x−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​1​arccos(x)π65π​43π​32π​2π​3π​4π​6π​0​arccos(x)180∘150∘135∘120∘90∘60∘45∘30∘0∘​​=2π​
−2π​+2πn<x<2π​+2πn
cos(x)<23​​:6π​+2πn<x<611π​+2πn
cos(x)<23​​
对于 cos(x)<a,若 −1<a≤1,则 arccos(a)+2πn<x<2π−arccos(a)+2πnarccos(23​​)+2πn<x<2π−arccos(23​​)+2πn
化简 arccos(23​​):6π​
arccos(23​​)
使用以下普通恒等式:arccos(23​​)=6π​x−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​1​arccos(x)π65π​43π​32π​2π​3π​4π​6π​0​arccos(x)180∘150∘135∘120∘90∘60∘45∘30∘0∘​​=6π​
化简 2π−arccos(23​​):611π​
2π−arccos(23​​)
使用以下普通恒等式:arccos(23​​)=6π​x−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​1​arccos(x)π65π​43π​32π​2π​3π​4π​6π​0​arccos(x)180∘150∘135∘120∘90∘60∘45∘30∘0∘​​=2π−6π​
化简
2π−6π​
将项转换为分式: 2π=62π6​=62π6​−6π​
因为分母相等,所以合并分式: ca​±cb​=ca±b​=62π6−π​
2π6−π=11π
2π6−π
数字相乘:2⋅6=12=12π−π
同类项相加:12π−π=11π=11π
=611π​
=611π​
6π​+2πn<x<611π​+2πn
合并区间−2π​+2πn<x<2π​+2πnand6π​+2πn<x<611π​+2πn
合并重叠的区间6π​+2πn<x<2π​+2πnor23π​+2πn<x<611π​+2πn
合并区间2π​+2πn<x<23π​+2πnor(6π​+2πn<x<2π​+2πnor23π​+2πn<x<611π​+2πn)
合并重叠的区间6π​+2πn<x<2π​+2πnor2π​+2πn<x<23π​+2πnor23π​+2πn<x<611π​+2πn

流行的例子

cos(x)>= 1/2cos(x)≥21​cos(y)>= 0cos(y)≥0tan(x)>0tan(x)>0sin(θ)<0sin(θ)<0tan(x)>= sqrt(3)tan(x)≥3​
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