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人気のある三角関数 >

5sin^2(x)>=-2cos(x)

解

5 sin^{2} (x) \geq - 2 cos (x)

解

- arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn

+2

区間表記

[- arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn, arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn]

十進法表記

- 2.53186 \dots + 2 πn \leq x \leq 2.53186 \dots + 2 πn

解答ステップ

5 sin^{2} (x) \geq - 2 cos (x)

2 cos (x)

を左側に移動します

5 sin^{2} (x) \geq - 2 cos (x)

両辺に

2 cos (x)

を足す

5 sin^{2} (x) + 2 cos (x) \geq - 2 cos (x) + 2 cos (x)

5 sin^{2} (x) + 2 cos (x) \geq 0

5 sin^{2} (x) + 2 cos (x) \geq 0

次の恒等を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

このため

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

5 (1 - cos^{2} (x)) + 2 cos (x) \geq 0

仮定:

u = cos (x)

5 (1 - u^{2}) + 2 u \geq 0

5 (1 - u^{2}) + 2 u \geq 0 : \frac{- 26 + 1}{5} \leq u \leq \frac{26 + 1}{5}

5 (1 - u^{2}) + 2 u \geq 0

因数

5 (1 - u^{2}) + 2 u : - 5 (u - \frac{1}{5})^{2} + \frac{26}{5} \geq 0

5 (1 - u^{2}) + 2 u

5 (1 - u^{2}) = - 5 (u + 1) (u - 1)

5 (1 - u^{2})

因数

- u^{2} + 1 : - (u + 1) (u - 1)

- u^{2} + 1

共通項をくくり出す

- 1

= - (u^{2} - 1)

因数

u^{2} - 1 : (u + 1) (u - 1)

u^{2} - 1

1

を書き換え

1^{2}

= u^{2} - 1^{2}

2乗の差の公式を適用する:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - 1^{2} = (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u - 1)

= - (u + 1) (u - 1)

= - 5 (u + 1) (u - 1)

= - 5 (u + 1) (u - 1) + 2 u

拡張

- 5 (u + 1) (u - 1) + 2 u : - 5 u^{2} + 5 + 2 u

- 5 (u + 1) (u - 1) + 2 u

拡張

- 5 (u + 1) (u - 1) : - 5 u^{2} + 5

拡張

(u + 1) (u - 1) : u^{2} - 1

(u + 1) (u - 1)

2乗の差の公式を適用する:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = u, b = 1

= u^{2} - 1^{2}

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= u^{2} - 1

= - 5 (u^{2} - 1)

拡張

- 5 (u^{2} - 1) : - 5 u^{2} + 5

- 5 (u^{2} - 1)

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = - 5, b = u^{2}, c = 1

= - 5 u^{2} - (- 5) \cdot 1

マイナス・プラスの規則を適用する

- (- a) = a

= - 5 u^{2} + 5 \cdot 1

数を乗じる:

5 \cdot 1 = 5

= - 5 u^{2} + 5

= - 5 u^{2} + 5

= - 5 u^{2} + 5 + 2 u

= - 5 u^{2} + 5 + 2 u

因数

- 5 u^{2} + 2 u + 5 : - (5 u^{2} - 2 u - 5)

- 5 u^{2} + 2 u + 5

共通項をくくり出す

- 1

= - (5 u^{2} - 2 u - 5)

= - (5 u^{2} - 2 u - 5)

平方完成する

- (5 u^{2} - 2 u - 5) : - 5 (u - \frac{1}{5})^{2} + \frac{26}{5}

- (5 u^{2} - 2 u - 5)

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c

- 5 u^{2} + 2 u + 5

次の形式で

- 5 u^{2} + 2 u + 5

を書く:

x^{2} + 2 a x + a^{2}

くくり出す

- 5

- 5 (u^{2} - \frac{2 u}{5} - 1)

2 a = - \frac{2}{5} : a = - \frac{1}{5}

2 a = - \frac{2}{5}

以下で両辺を割る

2

2 a = - \frac{2}{5}

以下で両辺を割る

2

\frac{2 a}{2} = \frac{- \frac{2}{5}}{2}

簡素化

\frac{2 a}{2} = \frac{- \frac{2}{5}}{2}

簡素化

\frac{2 a}{2} : a

\frac{2 a}{2}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= a

簡素化

\frac{- \frac{2}{5}}{2} : - \frac{1}{5}

\frac{- \frac{2}{5}}{2}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{2}{5}}{2}

分数の規則を適用する:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

\frac{\frac{2}{5}}{2} = \frac{2}{5 \cdot 2}

= - \frac{2}{5 \cdot 2}

数を乗じる:

5 \cdot 2 = 10

= - \frac{2}{10}

共通因数を約分する:

2

= - \frac{1}{5}

a = - \frac{1}{5}

a = - \frac{1}{5}

a = - \frac{1}{5}

加算と減算

(- \frac{1}{5})^{2}

- 5 (u^{2} - \frac{2 u}{5} - 1 + (- \frac{1}{5})^{2} - (- \frac{1}{5})^{2})

x^{2} + 2 a x + a^{2} = (x + a)^{2}

u^{2} - \frac{2}{5} u + (- \frac{1}{5})^{2} = (u - \frac{1}{5})^{2}

- 5 ((u - \frac{1}{5})^{2} - 1 - (- \frac{1}{5})^{2})

簡素化

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} + \frac{26}{5}

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} + \frac{26}{5} \geq 0

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} + \frac{26}{5} \geq 0

\frac{26}{5}

を右側に移動します

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} + \frac{26}{5} \geq 0

両辺から

\frac{26}{5}

を引く

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} + \frac{26}{5} - \frac{26}{5} \geq 0 - \frac{26}{5}

簡素化

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} \geq - \frac{26}{5}

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} \geq - \frac{26}{5}

以下で両辺を乗じる:

- 1

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} \geq - \frac{26}{5}

両辺に-1を乗じる (不等式が逆になる)

(- 5 (u - \frac{1}{5})^{2}) (- 1) \leq (- \frac{26}{5}) (- 1)

簡素化

5 (u - \frac{1}{5})^{2} \leq \frac{26}{5}

5 (u - \frac{1}{5})^{2} \leq \frac{26}{5}

以下で両辺を割る

5

5 (u - \frac{1}{5})^{2} \leq \frac{26}{5}

以下で両辺を割る

5

\frac{5 ( u - \frac{1}{5} ) ^{2}}{5} \leq \frac{\frac{26}{5}}{5}

簡素化

\frac{5 ( u - \frac{1}{5} ) ^{2}}{5} \leq \frac{\frac{26}{5}}{5}

簡素化

\frac{5 ( u - \frac{1}{5} ) ^{2}}{5} : (u - \frac{1}{5})^{2}

\frac{5 ( u - \frac{1}{5} ) ^{2}}{5}

数を割る:

\frac{5}{5} = 1

= (u - \frac{1}{5})^{2}

簡素化

\frac{\frac{26}{5}}{5} : \frac{26}{25}

\frac{\frac{26}{5}}{5}

分数の規則を適用する:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{26}{5 \cdot 5}

数を乗じる:

5 \cdot 5 = 25

= \frac{26}{25}

(u - \frac{1}{5})^{2} \leq \frac{26}{25}

(u - \frac{1}{5})^{2} \leq \frac{26}{25}

(u - \frac{1}{5})^{2} \leq \frac{26}{25}

u^{n} \leq a

では

n

は偶数の場合,

- n a \leq u \leq n a

- \frac{26}{25} \leq u - \frac{1}{5} \leq \frac{26}{25}

a \leq u \leq b

の場合は

a \leq u and u \leq b

- \frac{26}{25} \leq u - \frac{1}{5} and u - \frac{1}{5} \leq \frac{26}{25}

- \frac{26}{25} \leq u - \frac{1}{5} : u \geq \frac{- 26 + 1}{5}

- \frac{26}{25} \leq u - \frac{1}{5}

辺を交換する

u - \frac{1}{5} \geq - \frac{26}{25}

簡素化

\frac{26}{25} : \frac{26}{5}

\frac{26}{25}

累乗根の規則を適用する:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

, 以下を想定

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{26}{25}

25 = 5

25

数を因数に分解する:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 5

= \frac{26}{5}

u - \frac{1}{5} \geq - \frac{26}{5}

\frac{1}{5}

を右側に移動します

u - \frac{1}{5} \geq - \frac{26}{5}

両辺に

\frac{1}{5}

を足す

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \geq - \frac{26}{5} + \frac{1}{5}

簡素化

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \geq - \frac{26}{5} + \frac{1}{5}

簡素化

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} : u

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5}

類似した元を足す:

- \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \geq 0

= u

簡素化

- \frac{26}{5} + \frac{1}{5} : \frac{- 26 + 1}{5}

- \frac{26}{5} + \frac{1}{5}

規則を適用

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 26 + 1}{5}

u \geq \frac{- 26 + 1}{5}

u \geq \frac{- 26 + 1}{5}

u \geq \frac{- 26 + 1}{5}

u - \frac{1}{5} \leq \frac{26}{25} : u \leq \frac{26 + 1}{5}

u - \frac{1}{5} \leq \frac{26}{25}

累乗根の規則を適用する:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

, 以下を想定

a \geq 0, b \geq 0

u - \frac{1}{5} \leq \frac{26}{25}

25 = 5

25

数を因数に分解する:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 5

u - \frac{1}{5} \leq \frac{26}{5}

\frac{1}{5}

を右側に移動します

u - \frac{1}{5} \leq \frac{26}{5}

両辺に

\frac{1}{5}

を足す

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \leq \frac{26}{5} + \frac{1}{5}

簡素化

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \leq \frac{26}{5} + \frac{1}{5}

簡素化

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} : u

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5}

類似した元を足す:

- \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \leq 0

= u

簡素化

\frac{26}{5} + \frac{1}{5} : \frac{26 + 1}{5}

\frac{26}{5} + \frac{1}{5}

規則を適用

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{26 + 1}{5}

u \leq \frac{26 + 1}{5}

u \leq \frac{26 + 1}{5}

u \leq \frac{26 + 1}{5}

区間を組み合わせる

u \geq \frac{- 26 + 1}{5} and u \leq \frac{26 + 1}{5}

重複している区間をマージする

u \geq \frac{- 26 + 1}{5} and u \leq \frac{26 + 1}{5}

2つの区間の交点は, 区間

u \geq \frac{- 26 + 1}{5}

と

の両方の数の集合である

u \leq \frac{26 + 1}{5}

\frac{- 26 + 1}{5} \leq u \leq \frac{26 + 1}{5}

\frac{- 26 + 1}{5} \leq u \leq \frac{26 + 1}{5}

\frac{- 26 + 1}{5} \leq u \leq \frac{26 + 1}{5}

代用を戻す

u = cos (x)

\frac{- 26 + 1}{5} \leq cos (x) \leq \frac{26 + 1}{5}

a \leq u \leq b

の場合は

a \leq u and u \leq b

\frac{- 26 + 1}{5} \leq cos (x) and cos (x) \leq \frac{26 + 1}{5}

\frac{- 26 + 1}{5} \leq cos (x) : - arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn

\frac{- 26 + 1}{5} \leq cos (x)

辺を交換する

cos (x) \geq \frac{- 26 + 1}{5}

cos (x) \geq a

では,

- 1 < a < 1

の場合は

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn

cos (x) \leq \frac{26 + 1}{5} :

すべて真

x \in R

cos (x) \leq \frac{26 + 1}{5}

以下の範囲:

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

関数範囲の定義

基本的な

cos

関数の範囲は

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \leq \frac{26 + 1}{5} and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

y =

にする

cos (x)

区間を組み合わせる

y \leq \frac{26 + 1}{5} and - 1 \leq y \leq 1

重複している区間をマージする

y \leq \frac{26 + 1}{5} and - 1 \leq y \leq 1

2つの区間の交点は, 区間

y \leq \frac{26 + 1}{5}

と

の両方の数の集合である

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

すべての x で真

すべて真 x \in R

区間を組み合わせる

- arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn and すべて真 x \in R

重複している区間をマージする

- arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn

人気の例

sin (x) > - 1

- cos (x) > 0

tan (x) \geq 3

2 cos^{2} (x) < \frac{3}{2}

sin(3x)cos(3x)-1/4 >= 0

sin (3 x) cos (3 x) - \frac{1}{4} \geq 0