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Beliebt Trigonometrie >

cos(2x+pi/6)<=-1/2

Lösung

cos (2 x + \frac{π}{6}) \leq - \frac{1}{2}

Lösung

\frac{π}{4} + πn \leq x \leq \frac{7 π}{12} + πn

Intervall-Notation

[\frac{π}{4} + πn, \frac{7 π}{12} + πn]

Dezimale

0.78539 \dots + πn \leq x \leq 1.83259 \dots + πn

Schritte zur Lösung

cos (2 x + \frac{π}{6}) \leq - \frac{1}{2}

Für

cos (x) \leq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq (2 x + \frac{π}{6}) \leq 2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Wenn

a \leq u \leq b

dann

a \leq u and u \leq b

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq 2 x + \frac{π}{6} and 2 x + \frac{π}{6} \leq 2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq 2 x + \frac{π}{6} : x \geq πn + \frac{π}{4}

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq 2 x + \frac{π}{6}

Tausche die Seiten

2 x + \frac{π}{6} \geq arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Vereinfache

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn : \frac{2 π}{3} + 2 πn

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{2 π}{3} + 2 πn

2 x + \frac{π}{6} \geq \frac{2 π}{3} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{6}

auf die rechte Seite

2 x + \frac{π}{6} \geq \frac{2 π}{3} + 2 πn

Subtrahiere

\frac{π}{6}

von beiden Seiten

2 x + \frac{π}{6} - \frac{π}{6} \geq \frac{2 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{6}

Vereinfache

2 x + \frac{π}{6} - \frac{π}{6} \geq \frac{2 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{6}

Vereinfache

2 x + \frac{π}{6} - \frac{π}{6} : 2 x

2 x + \frac{π}{6} - \frac{π}{6}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{π}{6} - \frac{π}{6} \geq 0

= 2 x

Vereinfache

\frac{2 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{6} : 2 πn + \frac{π}{2}

\frac{2 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{6}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn - \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

6, 3 : 6

6, 3

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

6 : 2 \cdot 3

6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 3

Primfaktorzerlegung von

3 : 3

3

3

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 3

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

6

oder

3

vorkommt

= 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= 6

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

6

Für

\frac{2 π}{3} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

2

\frac{2 π}{3} = \frac{2 π 2}{3 \cdot 2} = \frac{4 π}{6}

= - \frac{π}{6} + \frac{4 π}{6}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π + 4 π}{6}

Addiere gleiche Elemente:

- π + 4 π = 3 π

= \frac{3 π}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= 2 πn + \frac{π}{2}

2 x \geq 2 πn + \frac{π}{2}

2 x \geq 2 πn + \frac{π}{2}

2 x \geq 2 πn + \frac{π}{2}

Teile beide Seiten durch

2

2 x \geq 2 πn + \frac{π}{2}

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} \geq \frac{2 πn}{2} + \frac{\frac{π}{2}}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} \geq \frac{2 πn}{2} + \frac{\frac{π}{2}}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

\frac{2 πn}{2} + \frac{\frac{π}{2}}{2} : πn + \frac{π}{4}

\frac{2 πn}{2} + \frac{\frac{π}{2}}{2}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= πn

\frac{\frac{π}{2}}{2} = \frac{π}{4}

\frac{\frac{π}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{π}{4}

= πn + \frac{π}{4}

x \geq πn + \frac{π}{4}

x \geq πn + \frac{π}{4}

x \geq πn + \frac{π}{4}

2 x + \frac{π}{6} \leq 2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn : x \leq \frac{7 π}{12} + πn

2 x + \frac{π}{6} \leq 2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Vereinfache

2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn : 2 π - \frac{2 π}{3} + 2 πn

2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{2 π}{3} + 2 πn

2 x + \frac{π}{6} \leq 2 π - \frac{2 π}{3} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{6}

auf die rechte Seite

2 x + \frac{π}{6} \leq 2 π - \frac{2 π}{3} + 2 πn

Subtrahiere

\frac{π}{6}

von beiden Seiten

2 x + \frac{π}{6} - \frac{π}{6} \leq 2 π - \frac{2 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{6}

Vereinfache

2 x + \frac{π}{6} - \frac{π}{6} \leq 2 π - \frac{2 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{6}

Vereinfache

2 x + \frac{π}{6} - \frac{π}{6} : 2 x

2 x + \frac{π}{6} - \frac{π}{6}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{π}{6} - \frac{π}{6} \leq 0

= 2 x

Vereinfache

2 π - \frac{2 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{6} : 2 π + 2 πn - \frac{5 π}{6}

2 π - \frac{2 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{6}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 π + 2 πn - \frac{π}{6} - \frac{2 π}{3}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

6, 3 : 6

6, 3

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

6 : 2 \cdot 3

6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 3

Primfaktorzerlegung von

3 : 3

3

3

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 3

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

6

oder

3

vorkommt

= 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= 6

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

6

Für

\frac{2 π}{3} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

2

\frac{2 π}{3} = \frac{2 π 2}{3 \cdot 2} = \frac{4 π}{6}

= - \frac{π}{6} - \frac{4 π}{6}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π - 4 π}{6}

Addiere gleiche Elemente:

- π - 4 π = - 5 π

= \frac{- 5 π}{6}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= 2 π + 2 πn - \frac{5 π}{6}

2 x \leq 2 π + 2 πn - \frac{5 π}{6}

2 x \leq 2 π + 2 πn - \frac{5 π}{6}

2 x \leq 2 π + 2 πn - \frac{5 π}{6}

Teile beide Seiten durch

2

2 x \leq 2 π + 2 πn - \frac{5 π}{6}

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} \leq \frac{2 π}{2} + \frac{2 πn}{2} - \frac{\frac{5 π}{6}}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} \leq \frac{2 π}{2} + \frac{2 πn}{2} - \frac{\frac{5 π}{6}}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

\frac{2 π}{2} + \frac{2 πn}{2} - \frac{\frac{5 π}{6}}{2} : π + πn - \frac{5 π}{12}

\frac{2 π}{2} + \frac{2 πn}{2} - \frac{\frac{5 π}{6}}{2}

\frac{2 π}{2} = π

\frac{2 π}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= π

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= πn

\frac{\frac{5 π}{6}}{2} = \frac{5 π}{12}

\frac{\frac{5 π}{6}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 π}{6 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{5 π}{12}

= π + πn - \frac{5 π}{12}

x \leq π + πn - \frac{5 π}{12}

x \leq π + πn - \frac{5 π}{12}

Vereinfache

π - \frac{5 π}{12} : \frac{7 π}{12}

π - \frac{5 π}{12}

Wandle das Element in einen Bruch um:

π = \frac{π 12}{12}

= \frac{π 12}{12} - \frac{5 π}{12}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 12 - 5 π}{12}

Addiere gleiche Elemente:

12 π - 5 π = 7 π

= \frac{7 π}{12}

x \leq \frac{7 π}{12} + πn

x \leq \frac{7 π}{12} + πn

Kombiniere die Bereiche

x \geq πn + \frac{π}{4} and x \leq \frac{7 π}{12} + πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{π}{4} + πn \leq x \leq \frac{7 π}{12} + πn

Beliebte Beispiele

cos(x/7)<= 1/2

cos (\frac{x}{7}) \leq \frac{1}{2}

sin(2t)>=-1/2

sin (2 t) \geq - \frac{1}{2}

cos^2(x)-cos(x)-2>= 0

cos^{2} (x) - cos (x) - 2 \geq 0

7cos^2(x)-5cos(x)+sin^2(x)<= 0

7 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + sin^{2} (x) \leq 0

cos(-x)<0

cos (- x) < 0