English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Phổ biến Lượng giác >

7cos^2(x)-5cos(x)+sin^2(x)<= 0

Lời Giải

7 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + sin^{2} (x) \leq 0

Lời Giải

\frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn or - arccos (\frac{1}{3}) + 2 π + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

Ký hiệu khoảng thời gian

[\frac{π}{3} + 2 πn, arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn] \cup [- arccos (\frac{1}{3}) + 2 π + 2 πn, \frac{5 π}{3} + 2 πn]

Số thập phân

1.04719 \dots + 2 πn \leq x \leq 1.23095 \dots + 2 πn or 5.05222 \dots + 2 πn \leq x \leq 5.23598 \dots + 2 πn

Các bước giải pháp

7 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + sin^{2} (x) \leq 0

Sử dụng hằng đẳng thức sau:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Do đó

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

7 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + 1 - cos^{2} (x) \leq 0

Rút gọn

6 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + 1 \leq 0

Cho:

u = cos (x)

6 u^{2} - 5 u + 1 \leq 0

6 u^{2} - 5 u + 1 \leq 0 : \frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

6 u^{2} - 5 u + 1 \leq 0

Hệ số

6 u^{2} - 5 u + 1 : (3 u - 1) (2 u - 1)

6 u^{2} - 5 u + 1

Chia biểu thức thành các nhóm

6 u^{2} - 5 u + 1

Định nghĩa

Các thừa số của

6 : 1, 2, 3, 6

6

Ước số (Thừa số)

Tìm Các thừa số nguyên tố của

6 : 2, 3

6

6

chia cho

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

là tất cả các số nguyên tố, do đó không thể tìm thừa số nữa

= 2 \cdot 3

Thêm các thừa số nguyên tố:

2, 3

Thêm 1 và số

6

chính nó

1, 6

Các thừa số của

6

1, 2, 3, 6

Các thừa số âm của

6 : - 1, - 2, - 3, - 6

Nhân các thừa số với

- 1

để có các thừa số âm

- 1, - 2, - 3, - 6

Với mỗi hai thừa số sao cho

u * v = 6,

kiểm tra xem

u + v = - 5

Kiểm tra

u = 1, v = 6 : u * v = 6, u + v = 7 \Rightarrow

SaiKiểm tra

u = 2, v = 3 : u * v = 6, u + v = 5 \Rightarrow

Sai

u = - 2, v = - 3

Nhóm thành

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(6 u^{2} - 2 u) + (- 3 u + 1)

= (6 u^{2} - 2 u) + (- 3 u + 1)

Đưa ra ngoài ngoặc

2 u

từ

6 u^{2} - 2 u : 2 u (3 u - 1)

6 u^{2} - 2 u

Áp dụng quy tắc số mũ:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 6 uu - 2 u

Viết lại

6

dưới dạng

2 \cdot 3

= 2 \cdot 3 uu - 2 u

Đưa số hạng chung ra ngoài ngoặc

2 u

= 2 u (3 u - 1)

Đưa ra ngoài ngoặc

- 1

từ

- 3 u + 1 : - (3 u - 1)

- 3 u + 1

Đưa số hạng chung ra ngoài ngoặc

- 1

= - (3 u - 1)

= 2 u (3 u - 1) - (3 u - 1)

Đưa số hạng chung ra ngoài ngoặc

3 u - 1

= (3 u - 1) (2 u - 1)

(3 u - 1) (2 u - 1) \leq 0

Xác định các khoảng:

Tìm dấu của các thừa số của

(3 u - 1) (2 u - 1)

Tìm dấu của

3 u - 1

3 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{3}

3 u - 1 = 0

Di chuyển

1

sang vế phải

3 u - 1 = 0

Thêm

1

vào cả hai bên

3 u - 1 + 1 = 0 + 1

Rút gọn

3 u = 1

3 u = 1

Chia cả hai vế cho

3

3 u = 1

Chia cả hai vế cho

3

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

Rút gọn

u = \frac{1}{3}

u = \frac{1}{3}

3 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{3}

3 u - 1 < 0

Di chuyển

1

sang vế phải

3 u - 1 < 0

Thêm

1

vào cả hai bên

3 u - 1 + 1 < 0 + 1

Rút gọn

3 u < 1

3 u < 1

Chia cả hai vế cho

3

3 u < 1

Chia cả hai vế cho

3

\frac{3 u}{3} < \frac{1}{3}

Rút gọn

u < \frac{1}{3}

u < \frac{1}{3}

3 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{3}

3 u - 1 > 0

Di chuyển

1

sang vế phải

3 u - 1 > 0

Thêm

1

vào cả hai bên

3 u - 1 + 1 > 0 + 1

Rút gọn

3 u > 1

3 u > 1

Chia cả hai vế cho

3

3 u > 1

Chia cả hai vế cho

3

\frac{3 u}{3} > \frac{1}{3}

Rút gọn

u > \frac{1}{3}

u > \frac{1}{3}

Tìm dấu của

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Di chuyển

1

sang vế phải

2 u - 1 = 0

Thêm

1

vào cả hai bên

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Rút gọn

2 u = 1

2 u = 1

Chia cả hai vế cho

2

2 u = 1

Chia cả hai vế cho

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Rút gọn

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Di chuyển

1

sang vế phải

2 u - 1 < 0

Thêm

1

vào cả hai bên

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Rút gọn

2 u < 1

2 u < 1

Chia cả hai vế cho

2

2 u < 1

Chia cả hai vế cho

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Rút gọn

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Di chuyển

1

sang vế phải

2 u - 1 > 0

Thêm

1

vào cả hai bên

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Rút gọn

2 u > 1

2 u > 1

Chia cả hai vế cho

2

2 u > 1

Chia cả hai vế cho

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Rút gọn

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Tóm tắt trong một bảng:

3 u - 1 2 u - 1 (3 u - 1) (2 u - 1) u < \frac{1}{3} - - + u = \frac{1}{3} 0 - 0 \frac{1}{3} < u < \frac{1}{2} + - - u = \frac{1}{2} + 00 u > \frac{1}{2} + + +

Xác định khoảng thỏa mãn điều kiện bắt buộc:

\leq 0

u = \frac{1}{3} or \frac{1}{3} < u < \frac{1}{2} or u = \frac{1}{2}

Hợp nhất các khoảng chồng lên nhau

\frac{1}{3} \leq u < \frac{1}{2} or u = \frac{1}{2}

Hợp của hai khoảng là tập hợp các số nằm trong một trong hai khoảng

u = \frac{1}{3}

hoặc

\frac{1}{3} < u < \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u < \frac{1}{2}

Hợp của hai khoảng là tập hợp các số nằm trong một trong hai khoảng

\frac{1}{3} \leq u < \frac{1}{2}

hoặc

u = \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

Thay thế lại

u = cos (x)

\frac{1}{3} \leq cos (x) \leq \frac{1}{2}

Nếu

a \leq u \leq b

thì

a \leq u and u \leq b

\frac{1}{3} \leq cos (x) and cos (x) \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq cos (x) : - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

\frac{1}{3} \leq cos (x)

Đổi bên

cos (x) \geq \frac{1}{3}

Đối với

cos (x) \geq a

, nếu

- 1 < a < 1

thì

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

cos (x) \leq \frac{1}{2} : \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) \leq \frac{1}{2}

Đối với

cos (x) \leq a

, nếu

- 1 < a < 1

thì

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

Rút gọn

arccos (\frac{1}{2}) : \frac{π}{3}

arccos (\frac{1}{2})

Sử dụng hằng đẳng thức sau:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

Rút gọn

2 π - arccos (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{3}

2 π - arccos (\frac{1}{2})

Sử dụng hằng đẳng thức sau:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{3}

Rút gọn

2 π - \frac{π}{3}

Chuyển phần tử thành phân số:

2 π = \frac{2 π 3}{3}

= \frac{2 π 3}{3} - \frac{π}{3}

Vì các mẫu số bằng nhau, cộng các phân số:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 3 - π}{3}

2 π 3 - π = 5 π

2 π 3 - π

Nhân các số:

2 \cdot 3 = 6

= 6 π - π

Thêm các phần tử tương tự:

6 π - π = 5 π

= 5 π

= \frac{5 π}{3}

= \frac{5 π}{3}

\frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

Kết hợp các khoảng

- arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn and \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

Hợp nhất các khoảng chồng lên nhau

\frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn or - arccos (\frac{1}{3}) + 2 π + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

Ví dụ phổ biến

cos(-x)<0

sin(x^2)>= 0

sin(x)+cos(x)<= 2

2cos^2(x)+sin(2x)<= 0

cos(2x)> 1/(sqrt(2))