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受欢迎的三角函数 >

cos^2(x)-cos(x)-2>= 0

解答

cos^{2} (x) - cos (x) - 2 \geq 0

解答

x = π + 2 πn

+1

十进制

x = 3.14159 \dots + 2 πn

求解步骤

cos^{2} (x) - cos (x) - 2 \geq 0

令

: u = cos (x)

u^{2} - u - 2 \geq 0

u^{2} - u - 2 \geq 0 : u \leq - 1 or u \geq 2

u^{2} - u - 2 \geq 0

分解

u^{2} - u - 2 : (u + 1) (u - 2)

u^{2} - u - 2

将表达式拆分成组

u^{2} - u - 2

定义

2

的因数:

1, 2

2

约数 (因数)

找到

2

的质因数:

2

2

2

是质数，因此无法因数分解

= 2

加 1

1

2

的因数

1, 2

2

的负因数:

- 1, - 2

将因数乘以

- 1

得到负因数

- 1, - 2

对于每两个因数

u * v = - 2

，检验是否

u + v = - 1

检验

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

真检验

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

假

u = 1, v = - 2

分组为

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(u^{2} + u) + (- 2 u - 2)

= (u^{2} + u) + (- 2 u - 2)

从

u^{2} + u

分解出因式

u

:

u (u + 1)

u^{2} + u

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= uu + u

因式分解出通项

u

= u (u + 1)

从

- 2 u - 2

分解出因式

- 2

:

- 2 (u + 1)

- 2 u - 2

因式分解出通项

- 2

= - 2 (u + 1)

= u (u + 1) - 2 (u + 1)

因式分解出通项

u + 1

= (u + 1) (u - 2)

(u + 1) (u - 2) \geq 0

确定区间

确定

(u + 1) (u - 2)

符号

确定

u + 1

符号

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

将

1

到右边

u + 1 = 0

两边减去

1

u + 1 - 1 = 0 - 1

化简

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

将

1

到右边

u + 1 < 0

两边减去

1

u + 1 - 1 < 0 - 1

化简

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

将

1

到右边

u + 1 > 0

两边减去

1

u + 1 - 1 > 0 - 1

化简

u > - 1

u > - 1

确定

u - 2

符号

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

将

2

到右边

u - 2 = 0

两边加上

2

u - 2 + 2 = 0 + 2

化简

u = 2

u = 2

u - 2 < 0 : u < 2

u - 2 < 0

将

2

到右边

u - 2 < 0

两边加上

2

u - 2 + 2 < 0 + 2

化简

u < 2

u < 2

u - 2 > 0 : u > 2

u - 2 > 0

将

2

到右边

u - 2 > 0

两边加上

2

u - 2 + 2 > 0 + 2

化简

u > 2

u > 2

总结如下表：

u + 1 u - 2 (u + 1) (u - 2) u < - 1 - - + u = - 1 0 - 0 - 1 < u < 2 + - - u = 2 + 00 u > 2 + + +

确定满足所需条件的区间：

\geq 0

u < - 1 or u = - 1 or u = 2 or u > 2

合并重叠的区间

u \leq - 1 or u = 2 or u > 2

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

u < - 1

or

u = - 1

u \leq - 1

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

u \leq - 1

or

u = 2

u \leq - 1 or u = 2

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

u \leq - 1 or u = 2

or

u > 2

u \leq - 1 or u \geq 2

u \leq - 1 or u \geq 2

u \leq - 1 or u \geq 2

u \leq - 1 or u \geq 2

u = cos (x)

代回

cos (x) \leq - 1 or cos (x) \geq 2

cos (x) \leq - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) \leq - 1

对于

cos (x) \leq a

，若

- 1 < a < 1

，则

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- 1) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (- 1) + 2 πn

化简

arccos (- 1) : π

arccos (- 1)

使用以下普通恒等式:

arccos (- 1) = π

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= π

化简

2 π - arccos (- 1) : π

2 π - arccos (- 1)

使用以下普通恒等式:

arccos (- 1) = π

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - π

同类项相加:

2 π - π = π

= π

π + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

化简

x = π + 2 πn

cos (x) \geq 2 :

对所有

x \in R

为假

cos (x) \geq 2

cos (x)

的值域:

- 1 \leq cos (x) \leq 1

函数值域定义

基本

cos

函数的值域为

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \geq 2 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 :

假

令

y = cos (x)

合并区间

y \geq 2 and - 1 \leq y \leq 1

合并重叠的区间

y \geq 2 and - 1 \leq y \leq 1

两个区间的交集是指同时存在于这两个区间的数的集合

y \geq 2

and

- 1 \leq y \leq 1

对所有 y \in R 为假

对所有 y \in R 为假

x \in R 无解

对所有 x \in R 为假

合并区间

x = π + 2 πn or 对所有 x \in R 为假

合并重叠的区间

x = π + 2 πn

流行的例子

7cos^2(x)-5cos(x)+sin^2(x)<= 0

7 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + sin^{2} (x) \leq 0

cos (- x) < 0

sin (x^{2}) \geq 0

sin(x)+cos(x)<= 2

sin (x) + cos (x) \leq 2

2cos^2(x)+sin(2x)<= 0

2 cos^{2} (x) + sin (2 x) \leq 0