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Beliebt Trigonometrie >

2cos(x)>cos(2x)

Lösung

2 cos (x) > cos (2 x)

Lösung

- arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn < x < arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn

Intervall-Notation

(- arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn, arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn)

Dezimale

- 1.94553 \dots + 2 πn < x < 1.94553 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

2 cos (x) > cos (2 x)

Verschiebe

cos (2 x)

auf die linke Seite

2 cos (x) > cos (2 x)

Subtrahiere

cos (2 x)

von beiden Seiten

2 cos (x) - cos (2 x) > cos (2 x) - cos (2 x)

2 cos (x) - cos (2 x) > 0

2 cos (x) - cos (2 x) > 0

Verwende die folgenden Identitäten:

cos (2 x) = - 1 + 2 cos^{2} (x)

- (- 1 + 2 cos^{2} (x)) + 2 cos (x) > 0

Vereinfache

1 - 2 cos^{2} (x) + 2 cos (x) > 0

Angenommen:

u = cos (x)

1 - 2 u^{2} + 2 u > 0

1 - 2 u^{2} + 2 u > 0 : \frac{- 3 + 1}{2} < u < \frac{3 + 1}{2}

1 - 2 u^{2} + 2 u > 0

Vervollständige das Quadrat

1 - 2 u^{2} + 2 u : - 2 (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2}

1 - 2 u^{2} + 2 u

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c

- 2 u^{2} + 2 u + 1

Schreibe

- 2 u^{2} + 2 u + 1

in dieser Form:

x^{2} + 2 a x + a^{2}

Klammere aus

- 2

- 2 (u^{2} - u - \frac{1}{2})

2 a = - 1 : a = - \frac{1}{2}

2 a = - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 a = - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 a}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

a = - \frac{1}{2}

a = - \frac{1}{2}

Addiere und subtrahiere

(- \frac{1}{2})^{2}

- 2 (u^{2} - u - \frac{1}{2} + (- \frac{1}{2})^{2} - (- \frac{1}{2})^{2})

x^{2} + 2 a x + a^{2} = (x + a)^{2}

u^{2} - 1 u + (- \frac{1}{2})^{2} = (u - \frac{1}{2})^{2}

- 2 ((u - \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{2} - (- \frac{1}{2})^{2})

Vereinfache

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2}

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2} > 0

Verschiebe

\frac{3}{2}

auf die rechte Seite

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2} > 0

Subtrahiere

\frac{3}{2}

von beiden Seiten

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2} - \frac{3}{2} > 0 - \frac{3}{2}

Vereinfache

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} > - \frac{3}{2}

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} > - \frac{3}{2}

Multipliziere beide Seiten mit

- 1

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} > - \frac{3}{2}

Multipliziere beide Seiten mit -1 (kehre die Ungleichung um)

(- 2 (u - \frac{1}{2})^{2}) (- 1) < (- \frac{3}{2}) (- 1)

Vereinfache

2 (u - \frac{1}{2})^{2} < \frac{3}{2}

2 (u - \frac{1}{2})^{2} < \frac{3}{2}

Teile beide Seiten durch

2

2 (u - \frac{1}{2})^{2} < \frac{3}{2}

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 ( u - \frac{1}{2} ) ^{2}}{2} < \frac{\frac{3}{2}}{2}

Vereinfache

\frac{2 ( u - \frac{1}{2} ) ^{2}}{2} < \frac{\frac{3}{2}}{2}

Vereinfache

\frac{2 ( u - \frac{1}{2} ) ^{2}}{2} : (u - \frac{1}{2})^{2}

\frac{2 ( u - \frac{1}{2} ) ^{2}}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= (u - \frac{1}{2})^{2}

Vereinfache

\frac{\frac{3}{2}}{2} : \frac{3}{4}

\frac{\frac{3}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3}{4}

(u - \frac{1}{2})^{2} < \frac{3}{4}

(u - \frac{1}{2})^{2} < \frac{3}{4}

(u - \frac{1}{2})^{2} < \frac{3}{4}

Für

u^{n} < a

, wenn

n

ist gerade dann

- n a < u < n a

- \frac{3}{4} < u - \frac{1}{2} < \frac{3}{4}

Wenn

a < u < b

dann

a < u and u < b

- \frac{3}{4} < u - \frac{1}{2} and u - \frac{1}{2} < \frac{3}{4}

- \frac{3}{4} < u - \frac{1}{2} : u > \frac{- 3 + 1}{2}

- \frac{3}{4} < u - \frac{1}{2}

Tausche die Seiten

u - \frac{1}{2} > - \frac{3}{4}

Vereinfache

\frac{3}{4} : \frac{3}{2}

\frac{3}{4}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{3}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{3}{2}

u - \frac{1}{2} > - \frac{3}{2}

Verschiebe

\frac{1}{2}

auf die rechte Seite

u - \frac{1}{2} > - \frac{3}{2}

Füge

\frac{1}{2}

zu beiden Seiten hinzu

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} > - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

Vereinfache

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} > - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

Vereinfache

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} : u

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}

Addiere gleiche Elemente:

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} > 0

= u

Vereinfache

- \frac{3}{2} + \frac{1}{2} : \frac{- 3 + 1}{2}

- \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 3 + 1}{2}

u > \frac{- 3 + 1}{2}

u > \frac{- 3 + 1}{2}

u > \frac{- 3 + 1}{2}

u - \frac{1}{2} < \frac{3}{4} : u < \frac{3 + 1}{2}

u - \frac{1}{2} < \frac{3}{4}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

u - \frac{1}{2} < \frac{3}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

u - \frac{1}{2} < \frac{3}{2}

Verschiebe

\frac{1}{2}

auf die rechte Seite

u - \frac{1}{2} < \frac{3}{2}

Füge

\frac{1}{2}

zu beiden Seiten hinzu

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} < \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

Vereinfache

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} < \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

Vereinfache

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} : u

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}

Addiere gleiche Elemente:

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} < 0

= u

Vereinfache

\frac{3}{2} + \frac{1}{2} : \frac{3 + 1}{2}

\frac{3}{2} + \frac{1}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 + 1}{2}

u < \frac{3 + 1}{2}

u < \frac{3 + 1}{2}

u < \frac{3 + 1}{2}

Kombiniere die Bereiche

u > \frac{- 3 + 1}{2} and u < \frac{3 + 1}{2}

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

u > \frac{- 3 + 1}{2} and u < \frac{3 + 1}{2}

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

u > \frac{- 3 + 1}{2}

und

u < \frac{3 + 1}{2}

\frac{- 3 + 1}{2} < u < \frac{3 + 1}{2}

\frac{- 3 + 1}{2} < u < \frac{3 + 1}{2}

\frac{- 3 + 1}{2} < u < \frac{3 + 1}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

\frac{- 3 + 1}{2} < cos (x) < \frac{3 + 1}{2}

Wenn

a < u < b

dann

a < u and u < b

\frac{- 3 + 1}{2} < cos (x) and cos (x) < \frac{3 + 1}{2}

\frac{- 3 + 1}{2} < cos (x) : - arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn < x < arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn

\frac{- 3 + 1}{2} < cos (x)

Tausche die Seiten

cos (x) > \frac{- 3 + 1}{2}

Für

cos (x) > a

, wenn

- 1 \leq a < 1

dann

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn < x < arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn

cos (x) < \frac{3 + 1}{2} :

Wahr für alle

x \in R

cos (x) < \frac{3 + 1}{2}

Bereich von

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

cos

function is

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) < \frac{3 + 1}{2} and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Angenommen

y = cos (x)

Kombiniere die Bereiche

y < \frac{3 + 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y < \frac{3 + 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y < \frac{3 + 1}{2}

und

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Kombiniere die Bereiche

- arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn < x < arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn and Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

- arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn < x < arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn

Beliebte Beispiele

tan^2(x)<1

tan^{2} (x) < 1

sin(2t)<1,(0,2pi)

sin (2 t) < 1, (0, 2 π)

2sin^2(x)-3sin(x)+1<= 0

2 sin^{2} (x) - 3 sin (x) + 1 \leq 0

cos(x)-1/2 cos(2x)<0

cos (x) - \frac{1}{2} cos (2 x) < 0

cot(θ)<sqrt(3)

cot (θ) < 3