English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

cos(x)-1/2 cos(2x)<0

Решение

cos (x) - \frac{1}{2} cos (2 x) < 0

Решение

arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn

Обозначение интервала

(arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn, 2 π - arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn)

десятичными цифрами

1.94553 \dots + 2 πn < x < 4.33765 \dots + 2 πn

Шаги решения

cos (x) - \frac{1}{2} cos (2 x) < 0

Используйте следующую тождественность:

cos (2 x) = - 1 + 2 cos^{2} (x)

cos (x) - (- 1 + 2 cos^{2} (x)) \frac{1}{2} < 0

Упростить

cos (x) - (- 1 + 2 cos^{2} (x)) \frac{1}{2} : cos (x) + \frac{1}{2} - cos^{2} (x)

cos (x) - (- 1 + 2 cos^{2} (x)) \frac{1}{2}

= cos (x) - \frac{1}{2} (- 1 + 2 cos^{2} (x))

Расширить

- \frac{1}{2} (- 1 + 2 cos^{2} (x)) : \frac{1}{2} - cos^{2} (x)

- \frac{1}{2} (- 1 + 2 cos^{2} (x))

Примените распределительный закон:

a (b + c) = ab + a c

a = - \frac{1}{2}, b = - 1, c = 2 cos^{2} (x)

= - \frac{1}{2} (- 1) + (- \frac{1}{2}) \cdot 2 cos^{2} (x)

Применение правил минус-плюс

- (- a) = a, + (- a) = - a

= 1 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} cos^{2} (x)

Упростить

1 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} cos^{2} (x) : \frac{1}{2} - cos^{2} (x)

1 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} cos^{2} (x)

1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

1 \cdot \frac{1}{2}

Умножьте:

1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

2 \cdot \frac{1}{2} cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

2 \cdot \frac{1}{2} cos^{2} (x)

Умножьте дроби:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2} cos^{2} (x)

Отмените общий множитель:

2

= cos^{2} (x) \cdot 1

Умножьте:

cos^{2} (x) \cdot 1 = cos^{2} (x)

= cos^{2} (x)

= \frac{1}{2} - cos^{2} (x)

= \frac{1}{2} - cos^{2} (x)

= cos (x) + \frac{1}{2} - cos^{2} (x)

cos (x) + \frac{1}{2} - cos^{2} (x) < 0

Допустим:

u = cos (x)

u + \frac{1}{2} - u^{2} < 0

u + \frac{1}{2} - u^{2} < 0 : u < \frac{- 3 + 1}{2} or u > \frac{3 + 1}{2}

u + \frac{1}{2} - u^{2} < 0

Перепишите в стандартной форме

u + \frac{1}{2} - u^{2} < 0

Умножьте обе части на

2

u \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 2 - u^{2} \cdot 2 < 0 \cdot 2

2 u + 1 - 2 u^{2} < 0

2 u + 1 - 2 u^{2} < 0

Заполните квадрат

2 u + 1 - 2 u^{2} : - 2 (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2}

2 u + 1 - 2 u^{2}

Запишите в стандартной форме

a x^{2} + b x + c

- 2 u^{2} + 2 u + 1

Запишите

- 2 u^{2} + 2 u + 1

в виде:

x^{2} + 2 a x + a^{2}

Вынести за скобки

- 2

- 2 (u^{2} - u - \frac{1}{2})

2 a = - 1 : a = - \frac{1}{2}

2 a = - 1

Разделите обе стороны на

2

2 a = - 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 a}{2} = \frac{- 1}{2}

После упрощения получаем

a = - \frac{1}{2}

a = - \frac{1}{2}

Добавьте и вычтите

(- \frac{1}{2})^{2}

- 2 (u^{2} - u - \frac{1}{2} + (- \frac{1}{2})^{2} - (- \frac{1}{2})^{2})

x^{2} + 2 a x + a^{2} = (x + a)^{2}

u^{2} - 1 u + (- \frac{1}{2})^{2} = (u - \frac{1}{2})^{2}

- 2 ((u - \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{2} - (- \frac{1}{2})^{2})

После упрощения получаем

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2}

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2} < 0

Переместите

\frac{3}{2}

вправо

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2} < 0

Вычтите

\frac{3}{2}

с обеих сторон

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2} - \frac{3}{2} < 0 - \frac{3}{2}

После упрощения получаем

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} < - \frac{3}{2}

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} < - \frac{3}{2}

Умножьте обе части на

- 1

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} < - \frac{3}{2}

Умножьте обе части на -1 (обратите неравенство)

(- 2 (u - \frac{1}{2})^{2}) (- 1) > (- \frac{3}{2}) (- 1)

После упрощения получаем

2 (u - \frac{1}{2})^{2} > \frac{3}{2}

2 (u - \frac{1}{2})^{2} > \frac{3}{2}

Разделите обе стороны на

2

2 (u - \frac{1}{2})^{2} > \frac{3}{2}

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 ( u - \frac{1}{2} ) ^{2}}{2} > \frac{\frac{3}{2}}{2}

После упрощения получаем

\frac{2 ( u - \frac{1}{2} ) ^{2}}{2} > \frac{\frac{3}{2}}{2}

Упростите

\frac{2 ( u - \frac{1}{2} ) ^{2}}{2} : (u - \frac{1}{2})^{2}

\frac{2 ( u - \frac{1}{2} ) ^{2}}{2}

Разделите числа:

\frac{2}{2} = 1

= (u - \frac{1}{2})^{2}

Упростите

\frac{\frac{3}{2}}{2} : \frac{3}{4}

\frac{\frac{3}{2}}{2}

Примените правило дробей:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3}{2 \cdot 2}

Перемножьте числа:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3}{4}

(u - \frac{1}{2})^{2} > \frac{3}{4}

(u - \frac{1}{2})^{2} > \frac{3}{4}

(u - \frac{1}{2})^{2} > \frac{3}{4}

Для

u^{n} > a

, если

n

четно, то

u < - n a or u > n a

u - \frac{1}{2} < - \frac{3}{4} or u - \frac{1}{2} > \frac{3}{4}

u - \frac{1}{2} < - \frac{3}{4} : u < \frac{- 3 + 1}{2}

u - \frac{1}{2} < - \frac{3}{4}

Упростить

\frac{3}{4} : \frac{3}{2}

\frac{3}{4}

Применить радикальное правило:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

, предположив

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{3}{4}

4 = 2

4

Разложите число:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Примените правило радикалов:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{3}{2}

u - \frac{1}{2} < - \frac{3}{2}

Переместите

\frac{1}{2}

вправо

u - \frac{1}{2} < - \frac{3}{2}

Добавьте

\frac{1}{2}

к обеим сторонам

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} < - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

После упрощения получаем

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} < - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

Упростите

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} : u

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}

Добавьте похожие элементы:

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} < 0

= u

Упростите

- \frac{3}{2} + \frac{1}{2} : \frac{- 3 + 1}{2}

- \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

Примените правило

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 3 + 1}{2}

u < \frac{- 3 + 1}{2}

u < \frac{- 3 + 1}{2}

u < \frac{- 3 + 1}{2}

u - \frac{1}{2} > \frac{3}{4} : u > \frac{3 + 1}{2}

u - \frac{1}{2} > \frac{3}{4}

Применить радикальное правило:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

, предположив

a \geq 0, b \geq 0

u - \frac{1}{2} > \frac{3}{4}

4 = 2

4

Разложите число:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Примените правило радикалов:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

u - \frac{1}{2} > \frac{3}{2}

Переместите

\frac{1}{2}

вправо

u - \frac{1}{2} > \frac{3}{2}

Добавьте

\frac{1}{2}

к обеим сторонам

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} > \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

После упрощения получаем

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} > \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

Упростите

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} : u

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}

Добавьте похожие элементы:

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} > 0

= u

Упростите

\frac{3}{2} + \frac{1}{2} : \frac{3 + 1}{2}

\frac{3}{2} + \frac{1}{2}

Примените правило

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 + 1}{2}

u > \frac{3 + 1}{2}

u > \frac{3 + 1}{2}

u > \frac{3 + 1}{2}

Объедините интервалы

u < \frac{- 3 + 1}{2} or u > \frac{3 + 1}{2}

u < \frac{- 3 + 1}{2} or u > \frac{3 + 1}{2}

Делаем обратную замену

u = cos (x)

cos (x) < \frac{- 3 + 1}{2} or cos (x) > \frac{3 + 1}{2}

cos (x) < \frac{- 3 + 1}{2} : arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn

cos (x) < \frac{- 3 + 1}{2}

Для

cos (x) < a

, если

- 1 < a \leq 1

, то

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn

cos (x) > \frac{3 + 1}{2} :

Неверно для всех

x \in R

cos (x) > \frac{3 + 1}{2}

Диапазон

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Определение диапазона функций

Диапазон базовой функции

cos

равен

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) > \frac{3 + 1}{2} and - 1 \leq cos (x) \leq 1 :

Неверно

Пусть

y = cos (x)

Объедините интервалы

y > \frac{3 + 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

y > \frac{3 + 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Пересечение двух интервалов - это набор чисел, которые находятся в обоих интервалах

y > \frac{3 + 1}{2}

- 1 \leq y \leq 1

Неверно для всех y \in R

Неверно для всех y \in R

Решения для x \in R нет

Неверно для всех x \in R

Объедините интервалы

arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn or Неверно для всех x \in R

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn

cos(x)-1/2 cos(2x)<0

Решение

Решение

Популярные примеры