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Beliebt Trigonometrie >

3tan^2(x)+sqrt(3)tan(x)<= 0

Lösung

3 tan^{2} (x) + 3 tan (x) \leq 0

Lösung

\frac{5 π}{6} + πn \leq x < π + πn

Intervall-Notation

[\frac{5 π}{6} + πn, π + πn)

Dezimale

2.61799 \dots + πn \leq x < 3.14159 \dots + πn

Schritte zur Lösung

3 tan^{2} (x) + 3 tan (x) \leq 0

Angenommen:

u = tan (x)

3 u^{2} + 3 u \leq 0

3 u^{2} + 3 u \leq 0 : - \frac{3}{3} \leq u \leq 0

3 u^{2} + 3 u \leq 0

Faktorisiere

3 u^{2} + 3 u : u (3 u + 3)

3 u^{2} + 3 u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 3 uu + 3 u

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (3 u + 1 \cdot 3)

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 3 = 3

= u (3 u + 3)

u (3 u + 3) \leq 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

u (3 u + 3)

Finde die Vorzeichen von

u

u = 0

u < 0

u > 0

Finde die Vorzeichen von

3 u + 3

3 u + 3 = 0 : u = - \frac{3}{3}

3 u + 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

3 u + 3 = 0

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

3 u + 3 - 3 = 0 - 3

Vereinfache

3 u = - 3

3 u = - 3

Teile beide Seiten durch

3

3 u = - 3

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 u}{3} = \frac{- 3}{3}

Vereinfache

u = - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

3 u + 3 < 0 : u < - \frac{3}{3}

3 u + 3 < 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

3 u + 3 < 0

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

3 u + 3 - 3 < 0 - 3

Vereinfache

3 u < - 3

3 u < - 3

Teile beide Seiten durch

3

3 u < - 3

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 u}{3} < \frac{- 3}{3}

Vereinfache

u < - \frac{3}{3}

u < - \frac{3}{3}

3 u + 3 > 0 : u > - \frac{3}{3}

3 u + 3 > 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

3 u + 3 > 0

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

3 u + 3 - 3 > 0 - 3

Vereinfache

3 u > - 3

3 u > - 3

Teile beide Seiten durch

3

3 u > - 3

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 u}{3} > \frac{- 3}{3}

Vereinfache

u > - \frac{3}{3}

u > - \frac{3}{3}

Fasse in einer Tabelle zusammen:

u 3 u + 3 u (3 u + 3) u < - \frac{3}{3} - - + u = - \frac{3}{3} - 00 - \frac{3}{3} < u < 0 - + - u = 0 0 + 0 u > 0 + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

\leq 0

u = - \frac{3}{3} or - \frac{3}{3} < u < 0 or u = 0

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

- \frac{3}{3} \leq u < 0 or u = 0

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

u = - \frac{3}{3}

oder

- \frac{3}{3} < u < 0

- \frac{3}{3} \leq u < 0

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

- \frac{3}{3} \leq u < 0

oder

u = 0

- \frac{3}{3} \leq u \leq 0

- \frac{3}{3} \leq u \leq 0

- \frac{3}{3} \leq u \leq 0

- \frac{3}{3} \leq u \leq 0

Setze in

u = tan (x)

ein

- \frac{3}{3} \leq tan (x) \leq 0

Wenn

a \leq u \leq b

dann

a \leq u and u \leq b

- \frac{3}{3} \leq tan (x) and tan (x) \leq 0

- \frac{3}{3} \leq tan (x) : - \frac{π}{6} + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn

- \frac{3}{3} \leq tan (x)

Tausche die Seiten

tan (x) \geq - \frac{3}{3}

Wenn

tan (x) \geq a

dann

arctan (a) + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn

arctan (- \frac{3}{3}) + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn

Vereinfache

arctan (- \frac{3}{3}) : - \frac{π}{6}

arctan (- \frac{3}{3})

Verwende die folgende Eigenschaft:

arctan (- x) = - arctan (x)

arctan (- \frac{3}{3}) = - arctan (\frac{3}{3})

= - arctan (\frac{3}{3})

Verwende die folgende triviale Identität:

arctan (\frac{3}{3}) = \frac{π}{6}

arctan (\frac{3}{3})

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

- \frac{π}{6} + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn

tan (x) \leq 0 : - \frac{π}{2} + πn < x \leq πn

tan (x) \leq 0

Wenn

tan (x) \leq a

dann

- \frac{π}{2} + πn < x \leq arctan (a) + πn

- \frac{π}{2} + πn < x \leq arctan (0) + πn

Vereinfache

arctan (0) : 0

arctan (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arctan (0) = 0

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= 0

- \frac{π}{2} + πn < x \leq 0 + πn

Vereinfache

- \frac{π}{2} + πn < x \leq πn

Kombiniere die Bereiche

- \frac{π}{6} + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn and - \frac{π}{2} + πn < x \leq πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{5 π}{6} + πn \leq x < π + πn

Beliebte Beispiele

tan(5x)<= 1

tan (5 x) \leq 1

(-1)/(16)sec^3(t)>0

\frac{- 1}{16} sec^{3} (t) > 0

cos(x)<= sin(x)

cos (x) \leq sin (x)

2sin(t)>0

2 sin (t) > 0

1-tan(x)<= 0

1 - tan (x) \leq 0